Division euclidienne

Exercice classique · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 10 — Polynômes et fractions rationnelles · B. Division euclidienne et racines

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de $A = X^{4} + X^{3} - 2 X + 1$ par $B = X^{2} + X + 1$ .

Corrigé

On retranche successivement les multiples de $B$ alignés sur le terme dominant : $A - X^{2} B = - X^{2} - 2 X + 1, - X^{2} - 2 X + 1 - (- 1) B = - X + 2.$ D'où $Q = X^{2} - 1$ et $R = - X + 2$ : $X^{4} + X^{3} - 2 X + 1 = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - 1) + (- X + 2), de g R = 1 < 2.$

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