Les sommes de Newton d'une équation cubique

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de Viète, dans les deux sens : les racines d'un polynôme unitaire scindé donnent ses coefficients, et réciproquement trois nombres $x,y,z$ sont les racines de $(X-x)(X-y)(X-z)=X^3-{\sigma }_1{X}^2+{\sigma }_{2}X-{\sigma }_3$. La stratégie : chaque racine vérifie l'équation ; en multipliant par $x_i^k$ et en sommant, on obtient une récurrence sur les $S_k$, qui les calcule tous sans jamais résoudre.

1) Les premières sommes. $S_1={\sigma }_1$ directement. Pour $S_2$, on développe ${\sigma }_1^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$, d'où $S_2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2$. Pour $S_{-1}$, on réduit au même dénominateur : $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2}{x_1{x}_2{x}_3}$, d'où $S_{-1}=\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_3}$ — licite car ${\sigma }_3\ne 0$ signifie qu'aucune racine n'est nulle.

2) La récurrence de Newton. Chaque racine annule $P$ : pour $i=1,2,3$, $x_i^3={\sigma }_1{x}_i^2-{\sigma }_2{x}_i+{\sigma }_3$. Multiplions par $x_i^k$ : $x_i^{k+3}={\sigma }_1{x}_i^{k+2}-{\sigma }_2{x}_i^{k+1}+{\sigma }_3{x}_i^k$. Sommons sur $i$ : $S_{k+3}={\sigma }_1{S}_{k+2}-{\sigma }_2{S}_{k+1}+{\sigma }_3{S}_k$. Avec $S_0=3$ (trois termes égaux à $1$), $S_1={\sigma }_1$ et $S_2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2$ : $$S_3={\sigma }_1{S}_2-{\sigma }_2{S}_1+{\sigma }_3{S}_0={\sigma }_1({\sigma }_1^2-2{\sigma }_2)-{\sigma }_1{\sigma }_2+3{\sigma }_3={\sigma }_1^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2+3{\sigma }_3,$$ $$S_4={\sigma }_1{S}_3-{\sigma }_2{S}_2+{\sigma }_3{S}_1={\sigma }_1^4-3{\sigma }_1^2{\sigma }_2+3{\sigma }_1{\sigma }_3-{\sigma }_1^2{\sigma }_2+2{\sigma }_2^2+{\sigma }_1{\sigma }_3={\sigma }_1^4-4{\sigma }_1^2{\sigma }_2+2{\sigma }_2^2+4{\sigma }_1{\sigma }_3.$$ Contrôle avec $x_1=x_2=x_3=1$, où ${\sigma }_1={\sigma }_2=3$, ${\sigma }_3=1$ : $S_3=27-27+3=3$ et $S_4=81-108+18+12=3$, comme il se doit.

3) Le système. Analyse. Soit $(x,y,z)$ une solution ; notons ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ ses fonctions symétriques élémentaires. Par le 1), ${\sigma }_1=S_1=2$ et ${\sigma }_2=\frac{{\sigma }_1^2-S_2}{2}=\frac{4-6}{2}=-1$. Par le 2), $S_3={\sigma }_1^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2+3{\sigma }_3$, soit $8=8+6+3{\sigma }_3$, d'où ${\sigma }_3=-2$. Les trois nombres $x,y,z$ sont donc les racines de $$X^3-2X^2-X+2=X^2(X-2)-(X-2)=(X^2-1)(X-2)=(X-1)(X+1)(X-2),$$ c'est-à-dire que $\{x,y,z\}=\{1,-1,2\}$ avec multiplicités : $(x,y,z)$ est l'une des six permutations de $(1,-1,2)$. Synthèse. Pour $(1,-1,2)$ : $1-1+2=2$, $1+1+4=6$, $1-1+8=8$ ; les équations sont symétriques, donc les six permutations conviennent. Les solutions sont les six permutations de $(1,-1,2)$.

4) Le cas nul. Si $S_1=S_2=S_3=0$, alors ${\sigma }_1=0$, ${\sigma }_2=\frac{0-0}{2}=0$, et $0=S_3=0-0+3{\sigma }_3$ donne ${\sigma }_3=0$. Donc $x,y,z$ sont les racines de $X^3$ : $x=y=z=0$. (Sur $\mathbb{R}$, la seule équation $x^2+y^2+z^2=0$ suffirait ; sur $\mathbb{C}$, non — $1^2+i^2=0$ — et c'est la troisième somme qui conclut.)

Le point délicat. Au 3), l'analyse consiste à reconstruire le polynôme dont $x,y,z$ sont les racines, à partir des sommes de puissances ; les relations de Newton sont inversibles parce que $S_1,S_2,S_3$ déterminent ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ de proche en proche, chaque nouvelle relation ne faisant intervenir qu'une nouvelle inconnue avec un coefficient non nul ($2$, puis $3$).

Ce que l'exercice installe. On calcule sur les racines sans les connaître : c'est ce qui rend Viète utilisable en degré $3$ et au-delà, où les formules de résolution sont inexploitables. Les relations de Newton reviendront en deuxième année sous la forme « la trace de $A^k$ est la somme des puissances $k$-ièmes des valeurs propres », et la question 4) est exactement l'énoncé « une matrice dont toutes les traces $\mathrm{tr}(A^k)$ sont nulles est nilpotente ».