mathématiques MPSI · Chapitre 10 · Exercice de TD

Les sommes de Newton d'une équation cubique

Polynômes et fractions rationnelles · C. Relations coefficients-racines · niveau 2

Énoncé

Soit $P = X^{3} - σ_{1} X^{2} + σ_{2} X - σ_{3} \in C [X]$ , de racines $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ comptées avec multiplicité, de sorte que $σ_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ , $σ_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}$ et $σ_{3} = x_{1} x_{2} x_{3}$ (formules de Viète). Pour $k \in Z$ , on pose $S_{k} = x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + x_{3}^{k}$ (pour $k < 0$ , on suppose $σ_{3} \neq = 0$ ).

1) Exprimer $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{- 1}$ en fonction de $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ .

2) Montrer que pour tout $k \in N$ , $S_{k + 3} = σ_{1} S_{k + 2} - σ_{2} S_{k + 1} + σ_{3} S_{k}$ . En déduire $S_{3}$ et $S_{4}$ .

3) Résoudre dans $C^{3}$ le système $x + y + z = 2$ , $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$ , $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 8$ .

4) Montrer que si $x + y + z = x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{3} + y^{3} + z^{3} = 0$ , alors $x = y = z = 0$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les formules de Viète, dans les deux sens : les racines d'un polynôme unitaire scindé donnent ses coefficients, et réciproquement trois nombres $x, y, z$ sont les racines de $(X - x) (X - y) (X - z) = X^{3} - σ_{1} X^{2} + σ_{2} X - σ_{3}$ . La stratégie : chaque racine vérifie l'équation ; en multipliant par $x_{i}^{k}$ et en sommant, on obtient une récurrence sur les $S_{k}$ , qui les calcule tous sans jamais résoudre.

1) Les premières sommes. $S_{1} = σ_{1}$ directement. Pour $S_{2}$ , on développe $σ_{1}^{2} = (x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ , d'où $S_{2} = σ_{1}^{2} - 2 σ_{2}$ . Pour $S_{- 1}$ , on réduit au même dénominateur : $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} = \frac{x _{2} x _{3} + x _{1} x _{3} + x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2} x _{3}}$ , d'où $S_{- 1} = \frac{σ _{2}}{σ _{3}}$ — licite car $σ_{3} \neq = 0$ signifie qu'aucune racine n'est nulle.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que pour tout $k \in N$ , $S_{k + 3} = σ_{1} S_{k + 2} - σ_{2} S_{k + 1} + σ_{3} S_{k}$ . En déduire $S_{3}$ et $S_{4}$ .

Élève

Pour $S_{3}$ , j'ai commencé à développer $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{3}$ , c'est très long, et je ne vois pas d'où pourrait venir une relation de récurrence entre les $S_{k}$ .

Chaque $x_{i}$ est racine de $P$ : quelle égalité vérifie $x_{i}^{3}$ ? Et que se passe-t-il si tu la multiplies par $x_{i}^{k}$ avant de sommer sur $i$ ?

Élève

$x_{i}^{k + 3} = σ_{1} x_{i}^{k + 2} - σ_{2} x_{i}^{k + 1} + σ_{3} x_{i}^{k}$ , et en sommant j'ai la récurrence. Pour $S_{3}$ , je prends $k = 0$ , avec $S_{0} = 1$ .

La récurrence est juste, mais $S_{0}$ non : c'est une somme de trois termes, combien vaut-elle ? Et une fois $S_{3}$ et $S_{4}$ obtenus, sur quel cas simple de racines connues peux-tu les contrôler ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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