Montrer que dans ℂ[X], A et B sont premiers entre eux si et seulement…

La stratégie : double implication, avec d'Alembert-Gauss comme unique moteur. L'énoncé traduit une propriété arithmétique (être premiers entre eux) en une propriété analytique (ne pas partager de racine) : le pont entre les deux est le théorème fondamental de l'algèbre.

1) Sens direct : une racine commune empêche d'être premiers entre eux. Supposons que $\alpha \in \mathbb{C}$ soit racine de $A$ et de $B$. Alors $X-\alpha$ divise $A$ et divise $B$ : c'est un diviseur commun de degré $1$, donc non constant. Le pgcd $A\wedge B$, qui est multiple de tout diviseur commun, est de degré $\ge 1$ : $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux.

(Ce sens n'utilise rien de particulier à $\mathbb{C}$ : il vaut dans $\mathbb{K}[X]$ pour tout corps.)

2) Sens réciproque : c'est ici que $\mathbb{C}$ intervient. Supposons $A$ et $B$ non premiers entre eux, et posons $D=A\wedge B$, donc $\mathrm{deg}D\ge 1$. Par le théorème de d'Alembert-Gauss, tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine : soit $\alpha \in \mathbb{C}$ une racine de $D$. Comme $D\mid A$ et $D\mid B$, on a $A(\alpha )=B(\alpha )=0$ : voilà la racine commune.

⚠️ Tout le contenu est dans cette ligne. Retirez d'Alembert-Gauss et l'équivalence s'effondre : dans $\mathbb{R}[X]$, un diviseur commun non constant peut parfaitement n'avoir aucune racine réelle. Le contre-exemple le plus court est $A=B=X^2+1$ : ces deux polynômes n'ont aucune racine réelle commune (ils n'ont aucune racine réelle du tout), et pourtant $A\wedge B=X^2+1\ne 1$. L'équivalence est donc fausse dans $\mathbb{R}[X]$.

3) Le cas de $X^2+1$ et $X^2+X+1$. Ces deux-là sont bien premiers entre eux, mais il faut le justifier autrement que par l'absence de racine réelle, qui ne prouve rien (cf. ci-dessus). Deux justifications correctes :

• Par les racines complexes. $X^2+1$ a pour racines $\pm i$ ; $X^2+X+1$ a pour racines $j$ et $j^2=\overline{j}$, de module $1$ et d'argument $\pm \frac{2\pi }{3}$. Les deux paires sont disjointes, donc aucune racine commune, donc — par l'équivalence démontrée dans $\mathbb{C}[X]$ — les polynômes sont premiers entre eux.
• Par Bézout, sans aucune racine. On vérifie directement $$(X+1)\left(X^2+1\right)-X\left(X^2+X+1\right)=\left(X^3+X^2+X+1\right)-\left(X^3+X^2+X\right)=1$$ Une relation de Bézout à second membre $1$ prouve la primalité entre eux, et ce dans $\mathbb{R}[X]$ directement.

Remarque utile : le pgcd ne change pas quand on agrandit le corps. L'algorithme d'Euclide n'utilise que les quatre opérations du corps de base, donc $A\wedge B$ calculé dans $\mathbb{R}[X]$ est le même que dans $\mathbb{C}[X]$. C'est ce qui autorise à tester la primalité entre eux dans $\mathbb{C}$ pour des polynômes réels.

Contrôle numérique.

couple	pgcd	racines communes
$X^2+1$ , $X^2+X+1$	$1$	aucune : $\{\pm i\}\cap \{j,j^2\}=\varnothing$
$X^2+1$ , $X^2+1$	$X^2+1$	$\pm i$ (mais aucune réelle)
$X^2-1$ , $X^2-3X+2$	$X-1$	$1$

Ce que l'exercice installe. Le critère « premiers entre eux $⟺$ pas de racine commune » est l'outil de lecture géométrique de l'arithmétique de $\mathbb{C}[X]$. Il servira à reconnaître qu'un polynôme est scindé à racines simples ($P\wedge P^{\prime }=1$), et à décider de la forme d'une décomposition en éléments simples.