Montrer que X² + X + 1 divise X³ⁿ⁺² + X³ᵐ⁺¹ + X³ᵏ pour tous n, m, k ∈…

La stratégie : par évaluation aux racines du diviseur. Pour montrer que $B$ divise $A$ sans poser la division, on utilise que $B$ est scindé à racines simples : $A$ est alors divisible par $B$ si et seulement si $A$ s'annule en chacune des racines de $B$.

1) Les racines du diviseur. Dans $\mathbb{C}[X]$, $X^2+X+1$ a pour racines les deux nombres $$j=e^{2i\pi /3}\text{et}\overline{j}=j^2=e^{-2i\pi /3}$$ Elles sont distinctes (discriminant $\Delta =1-4=-3\ne 0$), donc $$X^2+X+1=(X-j)\left(X-j^2\right)$$ et les deux facteurs sont premiers entre eux. Retenons les deux relations qui vont tout faire : $$j^3=1\text{et}1+j+j^2=0$$ (la seconde parce que $j$ annule $X^2+X+1$).

2) Évaluation en $j$. Posons $A=X^{3n+2}+X^{3m+1}+X^{3k}$. En utilisant $j^3=1$ : $$j^{3n+2}={\left(j^3\right)}^n\cdot j^2=j^2,j^{3m+1}={\left(j^3\right)}^m\cdot j=j,j^{3k}={\left(j^3\right)}^k=1$$ d'où $$A(j)=j^2+j+1=0$$

3) Évaluation en $j^2$. Même calcul, en notant que ${\left(j^2\right)}^3={\left(j^3\right)}^2=1$ : $${\left(j^2\right)}^{3n+2}=j^4=j,{\left(j^2\right)}^{3m+1}=j^2,{\left(j^2\right)}^{3k}=1$$ d'où $A\left(j^2\right)=j+j^2+1=0$.

(Raccourci : $A$ est à coefficients réels, donc $A\left(\overline{j}\right)=\overline{A(j)}=0$ — la seconde évaluation est gratuite.)

4) Conclusion. $X-j$ et $X-j^2$ divisent $A$, et ils sont premiers entre eux ; leur produit divise donc $A$ : $$\left(X^2+X+1\right)\mid X^{3n+2}+X^{3m+1}+X^{3k}$$

⚠️ L'argument tombe si le diviseur a une racine multiple. Savoir que $A(a)=0$ ne donne que $(X-a)\mid A$, jamais $(X-a{)}^2\mid A$. Ici c'est la simplicité des racines $j$ et $j^2$ — donc $\Delta \ne 0$ — qui autorise à multiplier les divisibilités. Pour un diviseur comme $(X-1{)}^2$, il faudrait en plus $A^{\prime }(1)=0$.

Contrôle numérique ($A$ effectivement divisé par $X^2+X+1$) :

(Contre-épreuve : $X^3+X+1$ divisé par $X^2+X+1$ laisse le reste $X+2\ne 0$ — l'instrument sait donc voir un non-multiple.)

Ce que l'exercice installe. La divisibilité par un polynôme scindé à racines simples se teste par de simples évaluations, et les racines de l'unité transforment un exposant en son reste modulo $3$ : c'est l'arithmétique des exposants lue dans $\mathbb{C}$.