Viète et racines en progression arithmétique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 10 — Polynômes et fractions rationnelles · C. Relations coefficients-racines

Énoncé

Résoudre $X^{3} - 6 X^{2} + 3 X + 10 = 0$ sachant que les racines sont en progression arithmétique.

Corrigé

Notons les racines $b - r$ , $b$ , $b + r$ . Par Viète, leur somme vaut $3 b = 6$ , donc $b = 2$ — et l'on vérifie que $2$ est bien racine. Le produit vaut $2 (4 - r^{2}) = - 10$ , d'où $r = 3$ . Les racines sont : $- 1, 2, 5.$ (Contrôle : $σ_{2} = - 2 - 5 + 10 = 3$ .)

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