Un polynôme positif sur $\mathbb{R}$ est somme de deux carrés

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de décomposition en irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ — facteurs de degré $1$, et trinômes de discriminant strictement négatif —, la définition de la multiplicité, la continuité d'une fonction polynomiale, les limites en $\pm \infty$ d'un polynôme (celles de son terme dominant), et le calcul dans $\mathbb{C}[X]$. La stratégie : la décomposition en irréductibles n'est pas qu'un résultat de structure, c'est un outil de démonstration — chaque facteur va être une somme de deux carrés, et l'identité de Lagrange recolle.

1) Degré et signe. Soit $n=\mathrm{deg}P$ et $a_n$ son coefficient dominant. Si $n=0$, $P=a_0\ge 0$ et $a_0\ne 0$, donc $a_0>0$ : degré $0$, pair. Si $n\ge 1$, $P(x)$ est équivalent à $a_n{x}^n$ quand $x\to \pm \infty$ : si $n$ est impair, $P(x)$ tend vers $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre, donc prend des valeurs strictement négatives, exclu ; si $n$ est pair et $a_n<0$, $P(x)\to -\infty$ en $+\infty$, exclu. Donc $n$ est pair et $a_n>0$.

2) Multiplicité paire. Soit $a$ une racine réelle de $P$, de multiplicité $m$ : $P=(X-a{)}^{m}Q$ avec $Q(a)\ne 0$, $Q\in \mathbb{R}[X]$. La fonction $Q$ est continue et $Q(a)\ne 0$ : sur un intervalle $]a-\eta ,a+\eta [$ assez petit, $Q$ garde un signe strict constant. Si $m$ était impair, $(x-a{)}^m$ changerait de signe en $a$, donc $P(x)=(x-a{)}^{m}Q(x)$ prendrait des signes opposés à gauche et à droite de $a$ sur cet intervalle — l'un des deux strictement négatif. Contradiction. Donc $m$ est pair.

3) Un trinôme sans racine réelle. Mettons sous forme canonique : $X^2+pX+q={\left(X+\frac{p}{2}\right)}^2+\left(q-\frac{p^2}{4}\right)$, et $q-\frac{p^2}{4}=-\frac{\Delta }{4}>0$ puisque le discriminant $\Delta =p^2-4q$ est strictement négatif. Donc $$X^2+pX+q={\left(X+\frac{p}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}\right)}^2,$$ somme des carrés de deux polynômes réels, le second étant constant.

4) L'identité de Lagrange. Dans $\mathbb{C}[X]$, posons $Z=A+iB$ et $W=C+iD$. Alors $(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2$ et de même pour $C,D$, donc $(A^2+B^2)(C^2+D^2)=ZW\cdot \overline{Z}\overline{W}$, où $\overline{Z}=A-iB$ désigne le polynôme aux coefficients conjugués. Or $ZW=(AC-BD)+i(AD+BC)$ et $\overline{Z}\overline{W}=(AC-BD)-i(AD+BC)$, d'où $$(A^2+B^2)(C^2+D^2)=(AC-BD{)}^2+(AD+BC{)}^2.$$ On peut aussi le vérifier en développant les deux membres : à gauche $A^2{C}^2+A^2{D}^2+B^2{C}^2+B^2{D}^2$, à droite $A^2{C}^2-2ABCD+B^2{D}^2+A^2{D}^2+2ABCD+B^2{C}^2$, et les doubles produits se détruisent. Un produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés.

5) Conclusion. Par le théorème de décomposition dans $\mathbb{R}[X]$, $P=a_n{\prod }_i(X-a_i{)}^{m_i}{\prod }_j(X^2+p_{j}X+q_j{)}^{n_j}$ avec $p_j^2-4q_j<0$. Chaque facteur est une somme de deux carrés : $a_n=(\sqrt{a_n}{)}^2+0^2$ par le 1) ; $(X-a_i{)}^{m_i}=((X-a_i{)}^{m_i/2}{)}^2+0^2$ car $m_i$ est pair par le 2) ; chaque trinôme par le 3), donc aussi ses puissances par le 4) (par récurrence sur $n_j$). Par le 4) appliqué de proche en proche au produit de tous ces facteurs, $P=A^2+B^2$ avec $A,B\in \mathbb{R}[X]$. Réciproque : si $P=A^2+B^2$, alors $P(x)=A(x{)}^2+B(x{)}^2\ge 0$ pour tout réel $x$ — évidemment. Un polynôme réel est positif sur $\mathbb{R}$ si et seulement s'il est somme de deux carrés de polynômes réels.

Le point délicat. Deux facteurs sans lesquels rien ne marche : les racines réelles doivent être de multiplicité paire — sinon $(X-a{)}^m$ n'est pas un carré — et c'est le changement de signe local qui le garantit ; et il faut deux carrés, pas un seul : $X^2+1$ est positif sans être un carré, et c'est l'identité de Lagrange, c'est-à-dire la multiplicativité du module dans $\mathbb{C}$, qui permet de rester à deux.

Ce que l'exercice installe. La décomposition en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sert à démontrer : on traite chaque facteur, puis on recolle par une identité compatible avec le produit. Et l'identité $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$, qui n'est que $|zw|=|z||w|$, est celle qui prouve en arithmétique qu'un produit de sommes de deux carrés d'entiers est encore une somme de deux carrés — l'exercice sur $\mathbb{Z}[i]$ du TD 8 en est le cousin.