Soient a et b les racines de X² - sX + p (avec p ≠ 0). Exprimer a² +…

La stratégie : par les fonctions symétriques élémentaires. Toute expression symétrique en $a$ et $b$ s'écrit avec ${\sigma }_1=a+b$ et ${\sigma }_2=ab$ ; les relations coefficients-racines les livrent sans résoudre l'équation.

Le point de départ. $a$ et $b$ sont les racines de $X^2-sX+p$, donc en développant $X^2-sX+p=(X-a)(X-b)$ et en identifiant : $$a+b=s\text{et}ab=p$$

a) La somme des carrés. On part de l'identité remarquable $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=\boxed{s^2-2p}$$

b) La somme des cubes. De même, $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$, d'où $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)=\boxed{s^3-3ps}$$

Variante systématique (relation de Newton). Puisque $a^2=sa-p$ et $b^2=sb-p$, en multipliant par $a^{k-2}$ et $b^{k-2}$ puis en sommant, la suite $p_k=a^k+b^k$ vérifie $$p_k=s{p}_{k-1}-p{p}_{k-2},p_0=2,p_1=s$$ On retrouve $p_2=s\cdot s-p\cdot 2=s^2-2p$, puis $p_3=s(s^2-2p)-ps=s^3-3ps$. Cette récurrence donne $p_4,p_5,\dots$ sans effort.

c) La somme des inverses des carrés. On réduit au même dénominateur : $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2{b}^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab{)}^2}=\boxed{\frac{s^2-2p}{p^2}}$$

⚠️ C'est ici, et seulement ici, que sert l'hypothèse $p\ne 0$. $ab=p\ne 0$ signifie que ni $a$ ni $b$ n'est nul : les quantités $\frac{1}{a^2}$ et $\frac{1}{b^2}$ existent, et la division par $p^2$ est licite. Avec $p=0$ (par exemple $X^2-X$, de racines $0$ et $1$), l'expression n'a tout simplement pas de sens.

Contrôle numérique.

Cas $s=5$, $p=6$, c'est-à-dire $X^2-5X+6=(X-2)(X-3)$, donc $a=2$, $b=3$ :

quantité	calcul direct	formule
$a^2+b^2$	$4+9=13$	$25-12=13$
$a^3+b^3$	$8+27=35$	$125-90=35$
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$	$\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{13}{36}$	$\frac{13}{36}$

Cas $s=1$, $p=-1$, c'est-à-dire $X^2-X-1$, dont les racines sont le nombre d'or $\phi$ et ${\phi }^{\prime }=1-\phi$ : les formules donnent ${\phi }^2+{\phi }^{\prime 2}=1+2=3$ et ${\phi }^3+{\phi }^{\prime 3}=1+3=4$ — ce sont les nombres de Lucas $L_2=3$ et $L_3=4$, et la relation de Newton ci-dessus est exactement $L_k=L_{k-1}+L_{k-2}$.

Ce que l'exercice installe. On calcule sur les racines sans jamais les connaître. C'est ce qui rend Viète utilisable en degré $\ge 3$, où les formules de résolution sont inexploitables voire inexistantes.