mathématiques MPSI · Chapitre 10 · Application directe du cours

Décomposition en éléments simples

Polynômes et fractions rationnelles · H. Fractions rationnelles et éléments simples · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Décomposer en éléments simples sur $R$ la fraction $F = \frac{X ^{2} + 1}{X ( X - 1 ) ^{2}}$ , et en déduire une primitive sur $] 1, + \infty [$ .

Corrigé

La forme est $F = \frac{a}{X} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{( X - 1 ) ^{2}}$ .

Pôle simple $0$ : $a = [X F]_{X = 0} = 1$ .
Coefficient extrême du pôle double : $c = [(X - 1)^{2} F]_{X = 1} = 2$ .
Limite : en multipliant par $X$ et en faisant $x \to + \infty$ : $1 = a + b$ , d'où $b = 0$ .

$\frac{X ^{2} + 1}{X ( X - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{X} + \frac{2}{( X - 1 ) ^{2}}, \int^{x} F = ln x - \frac{2}{x - 1} + C .$

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