Soit P ∈ ℝ[X] tel que P(k) = 0 pour tout k ∈ ℕ. Montrer que P = 0. Le…

La stratégie : par le nombre de racines. Le théorème central du chapitre — un polynôme non nul de degré $d$ a au plus $d$ racines — se retourne en un critère de nullité d'une puissance redoutable.

1) Le polynôme est nul. Raisonnons par l'absurde : supposons $P\ne 0$, et posons $d=\mathrm{deg}P\in \mathbb{N}$. Alors $P$ admet au plus $d$ racines dans $\mathbb{R}$.

Or par hypothèse tout entier naturel $k$ est racine de $P$ : l'ensemble des racines contient $\mathbb{N}$, qui est infini. On aurait donc plus de $d$ racines — contradiction. Donc $P=0$.

Rappel de la démonstration du théorème utilisé : si $a$ est racine de $P$, la division euclidienne par $X-a$ donne $P=(X-a)Q+P(a)=(X-a)Q$ avec $\mathrm{deg}Q=d-1$ ; une récurrence sur $d$ montre alors que $d+1$ racines distinctes forceraient $P$ à être divisible par un polynôme de degré $d+1$, donc à être nul.

⚠️ La finitude du nombre de racines est une propriété des POLYNÔMES, pas des fonctions. Elle vient de la structure algébrique (division euclidienne, degré), et absolument pas de la régularité. C'est pourquoi la seconde question est loin d'être rhétorique.

2) Le résultat tombe pour les fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$. Non, il ne subsiste pas. Le contre-exemple est immédiat : $$f:x⟼\sin (\pi x)$$

• $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions usuelles) ;
• $f(k)=\sin (k\pi )=0$ pour tout $k\in \mathbb{N}$ — et même pour tout $k\in \mathbb{Z}$ ;
• pourtant $f\ne 0$, puisque $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$.

⚠️ Le défaut n'est pas un défaut de régularité. On pourrait croire qu'en exigeant « plus lisse » on récupérerait le théorème : c'est faux, $\sin (\pi x)$ est même analytique (somme de sa série entière sur $\mathbb{R}$ tout entier). Ce qui manque à $\mathbb{N}$, c'est d'avoir un point d'accumulation : les zéros y sont infinis mais isolés, espacés de $1$, et ils partent à l'infini. Une fonction analytique nulle sur une partie ayant un point d'accumulation, elle, est bien nulle — mais $\mathbb{N}$ n'en a aucun dans $\mathbb{R}$.

Contrôle numérique :

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\frac{1}{2}$
$\sin (\pi x)$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Cinq zéros consécutifs, et pourtant la fonction vaut $1$ entre les deux premiers : aucun polynôme ne peut se comporter ainsi.

Ce que l'exercice installe. Le critère « une infinité de racines $\Rightarrow$ le polynôme est nul » est l'outil standard pour prouver l'égalité de deux polynômes à partir de l'égalité des fonctions associées ($P-Q$ a une infinité de racines). Et il rappelle que « polynôme » et « fonction polynomiale » sont deux objets qu'on identifie sur $\mathbb{R}$ grâce à ce théorème, pas par définition.