Le théorème de Gauss–Lucas

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La décomposition de $\frac{P^{\prime }}{P}$ (proposition du cours), le théorème de d'Alembert-Gauss, le calcul dans $\mathbb{C}$ : $\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{|w{|}^2}$, la conjugaison compatible avec sommes et produits, l'inégalité triangulaire. La stratégie : la décomposition en éléments simples de $\frac{P^{\prime }}{P}$ devient un outil géométrique dès qu'on l'évalue en une racine de $P^{\prime }$ et qu'on conjugue.

1) La décomposition de $\frac{P^{\prime }}{P}$. Par d'Alembert-Gauss, $P=\lambda {\prod }_i(X-a_i{)}^{m_i}$ ; en dérivant ce produit, chaque facteur contribue $m_i(X-a_i{)}^{m_i-1}$ fois le reste, soit $P^{\prime }={\sum }_i{m}_i\frac{P}{X-a_i}$, et en divisant par $P$ on obtient la formule du cours : $\frac{P^{\prime }}{P}={\sum }_i\frac{m_i}{X-a_i}$. Tous les pôles sont simples et les coefficients sont les multiplicités.

2) Une équation vectorielle. Comme $z$ n'est pas racine de $P$, ce n'est pas un pôle : on peut évaluer l'identité en $z$, et $P^{\prime }(z)=0$ donne $0=\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}={\sum }_i\frac{m_i}{z-a_i}$. Conjuguons cette égalité ; les $m_i$ sont réels, et $\overline{\left(\frac{1}{z-a_i}\right)}=\frac{1}{\overline{z-a_i}}=\frac{z-a_i}{(z-a_i)\overline{(z-a_i)}}=\frac{z-a_i}{|z-a_i{|}^2}$. Donc $$\sum _{i=1}^r\frac{m_i}{|z-a_i{|}^2}(z-a_i)=0.$$

3) Le barycentre. Posons ${\mu }_i=\frac{m_i}{|z-a_i{|}^2}>0$ (les $m_i$ sont des entiers $\ge 1$ et $z\ne a_i$). L'égalité du 2) s'écrit ${\sum }_i{\mu }_{i}z={\sum }_i{\mu }_i{a}_i$, soit $z{\sum }_i{\mu }_i={\sum }_i{\mu }_i{a}_i$, et en divisant par ${\sum }_i{\mu }_i>0$ : $$z=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{a}_i,{\lambda }_i=\frac{{\mu }_i}{{\sum }_j{\mu }_j}>0,\sum _i{\lambda }_i=1.$$ Toute racine de $P^{\prime }$ qui n'est pas racine de $P$ est un barycentre à coefficients strictement positifs des racines de $P$. (Une racine de $P^{\prime }$ qui est racine de $P$ est, trivialement, l'une des $a_i$.)

4) Le théorème. Soit $z$ une racine de $P^{\prime }$. Si $z$ est racine de $P$, elle est dans le disque par hypothèse. Sinon, par le 3), $z={\sum }_i{\lambda }_i{a}_i$ et, comme ${\sum }_i{\lambda }_i=1$, $z-c={\sum }_i{\lambda }_i(a_i-c)$. Par l'inégalité triangulaire et la positivité des ${\lambda }_i$ : $$|z-c|\le \sum _i{\lambda }_i|a_i-c|\le \sum _i{\lambda }_i\rho =\rho .$$ Les racines de $P^{\prime }$ sont dans le disque. Pour le demi-plan : $\mathrm{Re}z={\sum }_i{\lambda }_i\mathrm{Re}{a}_i\le {\sum }_i{\lambda }_i\alpha =\alpha$, la partie réelle étant linéaire et les ${\lambda }_i$ réels positifs. Plus généralement, toute région convexe contenant les racines de $P$ contient celles de $P^{\prime }$ : c'est le théorème de Gauss–Lucas.

5) Le cas réel, sans Rolle. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$ : toutes ses racines $a_i$ sont réelles, comprises entre $\alpha =\min a_i$ et $\beta =\max a_i$. Soit $z$ une racine (complexe a priori) de $P^{\prime }$. Si $z$ est racine de $P$, alors $z\in [\alpha ,\beta ]$. Sinon, $z=\sum {\lambda }_i{a}_i$ avec des ${\lambda }_i$ réels positifs de somme $1$ et des $a_i$ réels : $z$ est réel, et $\alpha =\sum {\lambda }_i\alpha \le z\le \sum {\lambda }_i\beta =\beta$. Toutes les racines complexes de $P^{\prime }$ sont réelles et dans $[\alpha ,\beta ]$. Comme $P^{\prime }$ est scindé sur $\mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss) avec des racines toutes réelles, sa factorisation $P^{\prime }={\lambda }^{\prime }\prod (X-z_j)$ est une factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : $P^{\prime }$ est scindé sur $\mathbb{R}$. Comparaison avec Rolle. L'exercice résolu 10 du livre obtient, par le théorème de Rolle et pour des racines simples $a_1<\cdots <a_n$, le résultat plus précis de l'entrelacement : exactement une racine de $P^{\prime }$ dans chaque $]a_i,a_{i+1}[$. Gauss–Lucas ne localise pas aussi finement, mais il vaut sur $\mathbb{C}$, où Rolle n'a aucun sens.

Le point délicat. L'hypothèse « $z$ n'est pas racine de $P$ » est indispensable pour évaluer $\frac{P^{\prime }}{P}$ en $z$ ; le cas où $z$ est racine multiple de $P$ se traite à part, et il est trivial. Et c'est la conjugaison qui transforme une somme d'inverses, sans signification géométrique, en une relation barycentrique : sans elle, on ne verrait pas que les coefficients sont positifs.

Ce que l'exercice installe. La formule $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum \frac{m_i}{X-a_i}$ est un outil de localisation : elle enferme les racines de $P^{\prime }$ dans l'enveloppe convexe de celles de $P$. Le programme annonce des « problèmes de localisation des racines, plus géométriques dans le cas complexe » : c'est exactement celui-ci. Et la physique le connaît : si l'on place en chaque racine $a_i$ une charge $m_i$, le champ créé au point $z$ est proportionnel à $\overline{\left(\frac{P^{\prime }}{P}\right)(z)}$, et les racines de $P^{\prime }$ sont les points d'équilibre.