Factoriser X⁶ - 1 dans ℂ[X], puis dans ℝ[X].

La stratégie : d'abord toutes les racines dans $\mathbb{C}$, puis appariement des conjuguées pour redescendre dans $\mathbb{R}$. C'est la marche à suivre standard, et elle donne du même coup la factorisation en irréductibles des deux côtés.

1) Dans $\mathbb{C}[X]$. Les racines de $X^6-1$ sont les six racines sixièmes de l'unité $${\omega }_k=e^{2ik\pi /6}=e^{ik\pi /3},k=0,1,\dots ,5$$ Elles sont deux à deux distinctes (six arguments distincts modulo $2\pi$), donc simples, et le polynôme est unitaire de degré $6$ : $$X^6-1=\prod _{k=0}^5\left(X-e^{ik\pi /3}\right)$$ Explicitement, avec $j=e^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
${\omega }_k$	$1$	$\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ce sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité : deux racines réelles ($\pm 1$) et deux paires de conjuguées.

2) Dans $\mathbb{R}[X]$ : on apparie. $X^6-1$ est à coefficients réels, donc ses racines non réelles vont par paires conjuguées, et le produit des deux facteurs correspondants est réel : $$(X-\omega )\left(X-\overline{\omega }\right)=X^2-2\mathrm{Re}(\omega )X+|\omega {|}^2=X^2-2\cos \theta X+1\text{pour }\omega =e^{i\theta }$$

• ${\omega }_1,{\omega }_5$ ($\theta =\frac{\pi }{3}$, $2\cos \frac{\pi }{3}=1$) donnent $X^2-X+1$ ;
• ${\omega }_2,{\omega }_4$ ($\theta =\frac{2\pi }{3}$, $2\cos \frac{2\pi }{3}=-1$) donnent $X^2+X+1$.

D'où $$X^6-1=(X-1)(X+1)\left(X^2-X+1\right)\left(X^2+X+1\right)$$

3) Est-ce bien la décomposition en irréductibles ? ⚠️ Il faut le vérifier, sinon le travail n'est pas fini. Les irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont les degrés $1$ et les degrés $2$ de discriminant strictement négatif. Ici $$\Delta \left(X^2-X+1\right)=1-4=-3<0,\Delta \left(X^2+X+1\right)=1-4=-3<0$$ Les deux trinômes sont donc irréductibles sur $\mathbb{R}$ : la factorisation ci-dessus est bien la décomposition en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$.

Vérification par une autre route. On peut retrouver le résultat sans passer par $\mathbb{C}$ : $X^6-1=\left(X^3-1\right)\left(X^3+1\right)=(X-1)\left(X^2+X+1\right)\cdot (X+1)\left(X^2-X+1\right)$. Les deux chemins mènent au même produit — l'unicité de la décomposition le garantissait.

Contrôle numérique (développement, puis évaluation en $x=2$) : $$(X-1)(X+1)\left(X^2-X+1\right)\left(X^2+X+1\right)=X^6-1$$

$x$	$x^6-1$	$(x-1)(x+1)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)$
$2$	$63$	$1\times 3\times 3\times 7=63$

Ce que l'exercice installe. Le schéma « racines complexes $\to$ appariement des conjuguées $\to$ contrôle du discriminant » factorise $X^n-1$ pour tout $n$, et plus généralement tout polynôme réel dont on sait lire les racines. La forme générale, $X^n-1=(X-1)\prod \left(X^2-2\cos \frac{2k\pi }{n}X+1\right)$ (avec un facteur $X+1$ de plus si $n$ est pair), s'en déduit sans changement.