Racines simples et $P\wedge P^{\prime }=1$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la multiplicité ($P=(X-a{)}^{m}Q$ avec $Q(a)\ne 0$), la dérivée d'un produit, le théorème de d'Alembert-Gauss, et l'énoncé du cours « deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune ». La stratégie : les racines multiples de $P$ sont exactement ses racines communes avec $P^{\prime }$, et « pas de racine commune » se dit « premiers entre eux ».

a) La dérivée perd exactement une multiplicité. Écrivons $P=(X-a{)}^{m}Q$ avec $Q(a)\ne 0$. Dérivons le produit : $$P^{\prime }=m(X-a{)}^{m-1}Q+(X-a{)}^m{Q}^{\prime }=(X-a{)}^{m-1}(mQ+(X-a)Q^{\prime }).$$ Le crochet vaut $mQ(a)\ne 0$ en $a$ (car $m\ge 1$ et $Q(a)\ne 0$). Donc $(X-a{)}^{m-1}$ divise $P^{\prime }$ et $(X-a{)}^m$ ne le divise pas : $a$ est racine de $P^{\prime }$ de multiplicité exactement $m-1$. Pour $m=1$, le crochet est non nul en $a$ et $P^{\prime }(a)\ne 0$ : une racine simple de $P$ n'est pas racine de $P^{\prime }$. Pour $m\ge 2$, $a$ est racine de $P^{\prime }$. Ainsi : les racines communes à $P$ et $P^{\prime }$ sont exactement les racines multiples de $P$.

b) L'équivalence. Par d'Alembert-Gauss, $P$ non constant est scindé sur $\mathbb{C}$, donc « à racines simples » signifie « aucune racine multiple ». Par le a), c'est dire « aucune racine commune à $P$ et $P^{\prime }$ », ce qui, par le théorème du cours, équivaut à $P\wedge P^{\prime }=1$. (Notons que $P^{\prime }\ne 0$ puisque $P$ n'est pas constant, ce qui donne un sens au PGCD.) Cette caractérisation est arithmétique : elle se calcule par l'algorithme d'Euclide, sans connaître aucune racine.

c) Le PGCD rassemble les multiplicités. Par le a), $a_i$ est racine de $P^{\prime }$ de multiplicité $m_i-1$, et $P^{\prime }$ n'a pas d'autres racines que celles-là (toute racine de $P^{\prime }$ qui n'est pas racine de $P$ n'est pas concernée par le PGCD). Par la caractérisation de la divisibilité par les racines dans $\mathbb{C}[X]$, les diviseurs communs de $P$ et $P^{\prime }$ sont les polynômes dont chaque racine $a_i$ a une multiplicité au plus $\min (m_i,m_i-1)=m_i-1$, et qui n'ont pas d'autre racine : $$P\wedge P^{\prime }=\prod _{i=1}^r(X-a_i{)}^{m_i-1}.$$ Alors $\frac{P}{P\wedge P^{\prime }}=\lambda {\prod }_{i=1}^r(X-a_i)$ : c'est le polynôme scindé à racines simples ayant exactement les racines de $P$. Le quotient « efface les multiplicités ».

d) Deux exemples. Pour $P=X^n-1$ : $P^{\prime }=n{X}^{n-1}$, dont la seule racine est $0$, qui n'est pas racine de $P$ ($0^n-1=-1$). Donc $P\wedge P^{\prime }=1$ et $X^n-1$ est à racines simples — ce que le chapitre 3 savait en exhibant les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, mais qu'on obtient ici sans les calculer. Pour $P=X^3-3X+2$ : $P^{\prime }=3X^2-3=3(X-1)(X+1)$ ; $P(1)=0$ et $P(-1)=-1+3+2=4\ne 0$ ; la racine commune est $1$, et $P=(X-1{)}^2(X+2)$ (exemple du cours) : par le c), $P\wedge P^{\prime }=X-1$, et $\frac{P}{X-1}=(X-1)(X+2)$ est à racines simples.

Le point délicat. Le b) vaut dans $\mathbb{C}[X]$. Pour un polynôme réel, $P\wedge P^{\prime }$ se calcule de la même façon (l'algorithme d'Euclide n'utilise que les quatre opérations, donc donne le même résultat dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$), et $P\wedge P^{\prime }=1$ dit encore « racines complexes simples » ; il ne dit pas que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ : $X^2+1$ vérifie $P\wedge P^{\prime }=1$ sans racine réelle.

Ce que l'exercice installe. La multiplicité, définie par la divisibilité, se lit sur la dérivée, et $P\wedge P^{\prime }$ la mesure globalement : c'est le premier calcul où l'arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ répond à une question sur les racines sans les connaître. La formule $\frac{P^{\prime }}{P}=\sum \frac{m_i}{X-a_i}$ de l'exercice 9 en est la version « fractions rationnelles », et l'idée « une dérivée perd exactement une multiplicité » reviendra à l'exercice 8 pour les pôles, où elle gagne un ordre.