Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P(X²) = (X² + 1 )P(X).

La stratégie : analyse-synthèse, et l'analyse commence par les degrés. Une équation polynomiale de ce type ne se résout pas en cherchant $P$ : on le contraint jusqu'à ne laisser qu'un candidat, puis on vérifie.

1) Le degré est forcé. Supposons $P \neq = 0$ et posons $d = de g P$ , de coefficient dominant $a_{d} \neq = 0$ .

$P (X^{2})$ s'obtient en substituant $X^{2}$ à $X$ : son terme de plus haut degré est $a_{d} X^{2 d}$ , donc $de g P (X^{2}) = 2 d$ .
$(X^{2} + 1) P (X)$ a pour terme dominant $a_{d} X^{d + 2}$ , donc son degré est $d + 2$ .

L'égalité des deux polynômes impose l'égalité des degrés : $2 d = d + 2 ⟹ d = 2$

2) Deux racines tombent gratuitement. L'identité est vraie dans $R [X]$ , donc a fortiori dans $C [X]$ : on peut y évaluer en un complexe. Évaluons en $X = i$ : $P (i^{2}) = (i^{2} + 1) P (i) = 0 \times P (i) = 0, c’est- a ˋ -dire P (- 1) = 0$ ⚠️ C'est ici que le détour par $C$ paie. Le facteur $X^{2} + 1$ ne s'annule en aucun réel : sur $R$ l'équation ne livre aucune racine. Il faut évaluer en $i$ , la seule valeur qui annule le coefficient, pour faire tomber $P (i)$ et lire une information sur $P$ .

Évaluons maintenant en $X = - 1$ , en réinjectant ce qu'on vient d'obtenir : $P (1) = P ((- 1)^{2}) = ((- 1)^{2} + 1) P (- 1) = 2 \times 0 = 0$

Ainsi $1$ et $- 1$ sont racines de $P$ , donc $(X - 1) (X + 1) = X^{2} - 1$ divise $P$ . Comme $de g P = 2$ , le quotient est une constante : $P = a (X^{2} - 1), a \in R$

3) Synthèse. Réciproquement, pour $P = a (X^{2} - 1)$ : $P (X^{2}) = a (X^{4} - 1) = a (X^{2} + 1) (X^{2} - 1) = (X^{2} + 1) P (X)$ La vérification est immédiate, et elle repose sur l'identité remarquable $X^{4} - 1 = (X^{2} + 1) (X^{2} - 1)$ : c'est elle, au fond, tout l'exercice.

Conclusion. L'ensemble des solutions est la droite vectorielle ${a (X^{2} - 1) : a \in R}$ $P = 0$ (cas $a = 0$ ) en fait partie ; ce n'est pas la seule.

Contrôle numérique (avec $a = 1$ , donc $P = X^{2} - 1$ ) :

$x$	$P (x^{2})$	$(x^{2} + 1) P (x)$
$2$	$4^{2} - 1 = 15$	$5 \times 3 = 15$
$3$	$9^{2} - 1 = 80$	$10 \times 8 = 80$

Ce que l'exercice installe. Trois outils qui reviendront sans cesse : le degré comme première contrainte, l'évaluation en un point bien choisi — quitte à sortir de $R$ — pour faire tomber un facteur, et la synthèse qui seule transforme un candidat en solution.

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