Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P(X²) = (X² + 1 )P(X).

La stratégie : analyse-synthèse, et l'analyse commence par les degrés. Une équation polynomiale de ce type ne se résout pas en cherchant $P$ : on le contraint jusqu'à ne laisser qu'un candidat, puis on vérifie.

1) Le degré est forcé. Supposons $P\ne 0$ et posons $d=\mathrm{deg}P$, de coefficient dominant $a_d\ne 0$.

• $P(X^2)$ s'obtient en substituant $X^2$ à $X$ : son terme de plus haut degré est $a_d{X}^{2d}$, donc $\mathrm{deg}P(X^2)=2d$.
• $\left(X^2+1\right)P(X)$ a pour terme dominant $a_d{X}^{d+2}$, donc son degré est $d+2$.

L'égalité des deux polynômes impose l'égalité des degrés : $$2d=d+2⟹d=2$$

2) Deux racines tombent gratuitement. L'identité est vraie dans $\mathbb{R}[X]$, donc a fortiori dans $\mathbb{C}[X]$ : on peut y évaluer en un complexe. Évaluons en $X=i$ : $$P(i^2)=\left(i^2+1\right)P(i)=0\times P(i)=0,\text{c’est-aˋ-dire}P(-1)=0$$ ⚠️ C'est ici que le détour par $\mathbb{C}$ paie. Le facteur $X^2+1$ ne s'annule en aucun réel : sur $\mathbb{R}$ l'équation ne livre aucune racine. Il faut évaluer en $i$, la seule valeur qui annule le coefficient, pour faire tomber $P(i)$ et lire une information sur $P$.

Évaluons maintenant en $X=-1$, en réinjectant ce qu'on vient d'obtenir : $$P(1)=P((-1{)}^2)=((-1{)}^2+1)P(-1)=2\times 0=0$$

Ainsi $1$ et $-1$ sont racines de $P$, donc $(X-1)(X+1)=X^2-1$ divise $P$. Comme $\mathrm{deg}P=2$, le quotient est une constante : $$P=a\left(X^2-1\right),a\in \mathbb{R}$$

3) Synthèse. Réciproquement, pour $P=a(X^2-1)$ : $$P(X^2)=a\left(X^4-1\right)=a\left(X^2+1\right)\left(X^2-1\right)=\left(X^2+1\right)P(X)$$ La vérification est immédiate, et elle repose sur l'identité remarquable $X^4-1=(X^2+1)(X^2-1)$ : c'est elle, au fond, tout l'exercice.

Conclusion. L'ensemble des solutions est la droite vectorielle $$\left\{a\left(X^2-1\right):a\in \mathbb{R}\right\}$$ $P=0$ (cas $a=0$) en fait partie ; ce n'est pas la seule.

Contrôle numérique (avec $a=1$, donc $P=X^2-1$) :

$x$	$P(x^2)$	$\left(x^2+1\right)P(x)$
$2$	$4^2-1=15$	$5\times 3=15$
$3$	$9^2-1=80$	$10\times 8=80$

Ce que l'exercice installe. Trois outils qui reviendront sans cesse : le degré comme première contrainte, l'évaluation en un point bien choisi — quitte à sortir de $\mathbb{R}$ — pour faire tomber un facteur, et la synthèse qui seule transforme un candidat en solution.