mathématiques MPSI · Chapitre 10 · Exercice de TD

Problème — Les polynômes de Tchebychev et le théorème de Tchebychev

Polynômes et fractions rationnelles · G. Interpolation de Lagrange · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Montrer qu'il existe une unique suite $(T_{n})_{n \in N}$ de polynômes de $R [X]$ telle que $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ pour tout $θ \in R$ ; on établira $T_{0} = 1$ , $T_{1} = X$ et $T_{n + 1} = 2 X T_{n} - T_{n - 1}$ . Expliciter $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ .

2) Montrer que pour $n \geq 1$ , $T_{n}$ est de degré $n$ , de coefficient dominant $2^{n - 1}$ , et de la parité de $n$ .

3) Montrer que $T_{n}$ admet les $n$ racines $x_{k} = cos \frac{( 2 k + 1 ) π}{2 n}$ , $k = 0, \dots, n - 1$ , toutes dans $] - 1, 1 [$ ; en déduire que $T_{n}$ est scindé sur $R$ à racines simples et que $T_{n} = 2^{n - 1} \prod_{k = 0}^{n - 1} (X - x_{k})$ .

4) Montrer que $∣ T_{n} (x) ∣ \leq 1$ pour $x \in [- 1, 1]$ , et que $T_{n} (y_{k}) = (- 1)^{k}$ aux $n + 1$ points $y_{k} = cos \frac{k π}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , avec $1 = y_{0} > y_{1} > \dots > y_{n} = - 1$ .

5) Théorème de Tchebychev. Soit $P \in R [X]$ unitaire de degré $n \geq 1$ . Montrer que $sup_{[- 1, 1]} ∣ P ∣ \geq 2^{1 - n}$ , avec égalité pour $P = 2^{1 - n} T_{n}$ .

6) Soient $x_{1}, \dots, x_{n} \in [- 1, 1]$ distincts et $ω = \prod_{i = 1}^{n} (X - x_{i})$ . Montrer que $sup_{[- 1, 1]} ∣ ω ∣ \geq 2^{1 - n}$ , avec égalité lorsque les $x_{i}$ sont les racines de $T_{n}$ . Commenter, sachant que l'erreur d'interpolation de Lagrange d'une fonction $f$ de classe $C^{n}$ aux points $x_{i}$ est majorée par $\frac{sup ∣ f ^{(n)} ∣}{n !} ∣ ω (x) ∣$ (résultat admis, hors programme).

Corrigé de la question 1

1) Existence et unicité. Existence, par récurrence double. Posons $T_{0} = 1$ et $T_{1} = X$ : $T_{0} (cos θ) = 1 = cos 0$ et $T_{1} (cos θ) = cos θ$ . Supposons construits $T_{n - 1}$ et $T_{n}$ avec $T_{n - 1} (cos θ) = cos ((n - 1) θ)$ et $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ . La formule $cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a cos b$ avec $a = n θ$ , $b = θ$ donne $cos ((n + 1) θ) = 2 cos θ cos (n θ) - cos ((n - 1) θ) = 2 cos θ T_{n} (cos θ) - T_{n - 1} (cos θ)$ . Donc $T_{n + 1} = 2 X T_{n} - T_{n - 1}$ convient, et la suite existe. Unicité. Si $T$ et $S$ vérifient tous deux $T (cos θ) = S (cos θ) = cos (n θ)$ , alors $T$ et $S$ coïncident en tout point de $[- 1, 1]$ (tout $x \in [- 1, 1]$ s'écrit $cos θ$ ), c'est-à-dire en une infinité de points : $T - S$ a une infinité de racines, donc $T = S$ . La suite est unique, et elle est donnée par la récurrence. Explicitement : $T_{2} = 2 X \cdot X - 1 = 2 X^{2} - 1$ , $T_{3} = 2 X (2 X^{2} - 1) - X = 4 X^{3} - 3 X$ , $T_{4} = 2 X (4 X^{3} - 3 X) - (2 X^{2} - 1) = 8 X^{4} - 8 X^{2} + 1$ . On reconnaît $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ et $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que pour $n \geq 1$ , $T_{n}$ est de degré $n$ , de coefficient dominant $2^{n - 1}$ , et de la parité de $n$ .

Élève

Je veux faire une récurrence avec $T_{n + 1} = 2 X T_{n} - T_{n - 1}$ , mais si je suppose la propriété seulement au rang $n$ , je ne sais rien de $T_{n - 1}$ . Et pour la parité, je ne vois pas comment la faire passer à travers la relation.

La relation fait intervenir deux rangs : l'hérédité doit donc supposer la propriété aux rangs $n - 1$ et $n$ , avec deux initialisations. Pour la parité, raisonne sur les monômes : que fait la multiplication par $X$ à un polynôme qui n'a que des monômes de degré pair, ou que des monômes de degré impair ?

Élève

Elle échange les deux cas. Donc si $T_{n}$ a la parité de $n$ , le produit $2 X T_{n}$ n'a que des monômes de la parité de $n + 1$ . Il me reste à regarder ce que fait $T_{n - 1}$ .

Quelle est la parité de $n - 1$ comparée à celle de $n + 1$ ? Et pour le degré : le terme $T_{n - 1}$ peut-il toucher au monôme de plus haut degré de $2 X T_{n}$ , ce qui permettrait de lire directement le coefficient dominant de $T_{n + 1}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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