Problème — Les polynômes de Tchebychev et le théorème de Tchebychev

1) Existence et unicité. Existence, par récurrence double. Posons $T_0=1$ et $T_1=X$ : $T_0(\cos \theta )=1=\cos 0$ et $T_1(\cos \theta )=\cos \theta$. Supposons construits $T_{n-1}$ et $T_n$ avec $T_{n-1}(\cos \theta )=\cos ((n-1)\theta )$ et $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$. La formule $\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$ avec $a=n\theta$, $b=\theta$ donne $\cos ((n+1)\theta )=2\cos \theta \cos (n\theta )-\cos ((n-1)\theta )=2\cos \theta T_n(\cos \theta )-T_{n-1}(\cos \theta )$. Donc $T_{n+1}=2X{T}_n-T_{n-1}$ convient, et la suite existe. Unicité. Si $T$ et $S$ vérifient tous deux $T(\cos \theta )=S(\cos \theta )=\cos (n\theta )$, alors $T$ et $S$ coïncident en tout point de $[-1,1]$ (tout $x\in [-1,1]$ s'écrit $\cos \theta$), c'est-à-dire en une infinité de points : $T-S$ a une infinité de racines, donc $T=S$. La suite est unique, et elle est donnée par la récurrence. Explicitement : $T_2=2X\cdot X-1=2X^2-1$, $T_3=2X(2X^2-1)-X=4X^3-3X$, $T_4=2X(4X^3-3X)-(2X^2-1)=8X^4-8X^2+1$. On reconnaît $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ et $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$.

2) Degré, coefficient dominant, parité. Par récurrence double. Pour $n=1$ : $T_1=X$, degré $1$, coefficient dominant $1=2^0$, impair ; pour $n=2$ : $T_2=2X^2-1$, degré $2$, coefficient $2=2^1$, pair. Supposons la propriété vraie aux rangs $n-1$ et $n$ ($n\ge 2$). Alors $2X{T}_n$ est de degré $n+1$, de coefficient dominant $2\cdot 2^{n-1}=2^n$, et $T_{n-1}$ est de degré $n-1<n+1$ : donc $T_{n+1}$ est de degré $n+1$ et de coefficient dominant $2^n$. Pour la parité : $T_n$ n'a que des monômes de la parité de $n$, donc $2X{T}_n$ n'a que des monômes de la parité de $n+1$ ; $T_{n-1}$ n'a que des monômes de la parité de $n-1$, qui est celle de $n+1$ ; leur différence aussi. Pour $n\ge 1$, $\mathrm{deg}{T}_n=n$, le coefficient dominant est $2^{n-1}$, et $T_n$ a la parité de $n$.

3) Les racines. Pour $k\in \{0,\dots ,n-1\}$, posons ${\theta }_k=\frac{(2k+1)\pi }{2n}$ ; alors $T_n(x_k)=T_n(\cos {\theta }_k)=\cos (n{\theta }_k)=\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{2}\right)=0$, car $\frac{(2k+1)\pi }{2}$ est un multiple impair de $\frac{\pi }{2}$. Les ${\theta }_k$ sont strictement croissants et tous dans $]0,\pi [$ ($0<\frac{\pi }{2n}\le {\theta }_k\le \frac{(2n-1)\pi }{2n}<\pi$) ; comme $\cos$ est strictement décroissante sur $[0,\pi ]$, les $x_k=\cos {\theta }_k$ sont deux à deux distincts, et dans $]-1,1[$ puisque ${\theta }_k\ne 0,\pi$. Voilà $n$ racines distinctes d'un polynôme de degré $n$ : ce sont toutes ses racines, chacune simple, et $T_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$. Avec le coefficient dominant du 2) : $T_n=2^{n-1}{\prod }_{k=0}^{n-1}(X-x_k)$.

4) La borne et les points d'équi-oscillation. Pour $x\in [-1,1]$, écrivons $x=\cos \theta$ : $T_n(x)=\cos (n\theta )\in [-1,1]$, donc $|T_n(x)|\le 1$. Aux points $y_k=\cos \frac{k\pi }{n}$, $T_n(y_k)=\cos (k\pi )=(-1{)}^k$. Les angles $\frac{k\pi }{n}$, $k=0,\dots ,n$, croissent strictement de $0$ à $\pi$, donc, $\cos$ étant strictement décroissante sur $[0,\pi ]$, $1=y_0>y_1>\cdots >y_n=-1$, et $T_n$ y prend alternativement les valeurs $+1,-1,+1,\dots$ : il touche $n+1$ fois ses bornes, en alternant.

5) Le théorème de Tchebychev. Notons ${\tilde{T}}_n=2^{1-n}{T}_n$ : par le 2), c'est un polynôme unitaire de degré $n$ (coefficient dominant $2^{1-n}\cdot 2^{n-1}=1$), et par le 4), ${\sup }_{[-1,1]}|{\tilde{T}}_n|=2^{1-n}$ (majoré par $2^{1-n}$, et atteint en $y_0=1$). Raisonnons par l'absurde : soit $P$ unitaire de degré $n$ avec ${\sup }_{[-1,1]}|P|<2^{1-n}$. Posons $D={\tilde{T}}_n-P$ : différence de deux polynômes unitaires de degré $n$, $D$ est de degré au plus $n-1$. Aux points $y_k$ : $D(y_k)=2^{1-n}(-1{)}^k-P(y_k)$, et $|P(y_k)|<2^{1-n}$. Pour $k$ pair, $D(y_k)=2^{1-n}-P(y_k)>0$ ; pour $k$ impair, $D(y_k)=-2^{1-n}-P(y_k)<0$. Ainsi $D$ prend, aux $n+1$ points $y_0>y_1>\cdots >y_n$, des valeurs alternativement strictement positives et strictement négatives. Sur chacun des $n$ intervalles $]y_{k+1},y_k[$, $k=0,\dots ,n-1$, la fonction continue $D$ change de signe strict : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'y annule. Ces $n$ intervalles sont deux à deux disjoints, ce qui fournit $n$ racines distinctes de $D$. Or $D$ est de degré au plus $n-1$ : donc $D=0$, c'est-à-dire $P={\tilde{T}}_n$. Mais alors $\sup |P|=2^{1-n}$, contredisant l'hypothèse $\sup |P|<2^{1-n}$. Pour tout $P$ unitaire de degré $n$, ${\sup }_{[-1,1]}|P|\ge 2^{1-n}$, et l'égalité est réalisée par $P=2^{1-n}{T}_n$.

Le point délicat. Le cœur de la preuve est un énoncé à retenir : un polynôme de degré au plus $n-1$ qui change $n$ fois de signe est nul. Il exige des changements de signe stricts — c'est pour cela que l'hypothèse est $\sup |P|<2^{1-n}$ et non $\le$ — et il utilise à la fois l'analyse (les valeurs intermédiaires) et l'algèbre (le nombre de racines). Les $n+1$ points d'équi-oscillation de $T_n$ sont exactement ce qui force $n$ changements de signe.

6) Les meilleurs nœuds d'interpolation. Le polynôme $\omega ={\prod }_{i=1}^n(X-x_i)$ est unitaire de degré $n$ : par le 5), ${\sup }_{[-1,1]}|\omega |\ge 2^{1-n}$. Si les $x_i$ sont les racines de $T_n$, alors $\omega =2^{1-n}{T}_n$ par le 3), et le 5) dit que la borne est atteinte : le choix des racines de $T_n$ minimise $\sup |\omega |$. Commentaire. L'erreur d'interpolation de Lagrange d'une fonction $f$ aux nœuds $x_i$ est majorée par $\frac{\sup |f^{(n)}|}{n!}|\omega (x)|$ : le facteur $\sup |f^{(n)}|/n!$ ne dépend que de $f$, le facteur $|\omega (x)|$ ne dépend que des nœuds. Choisir les nœuds, c'est choisir $\omega$ ; le meilleur choix uniforme sur $[-1,1]$ est celui qui rend $\sup |\omega |$ minimal, et ce sont les racines de Tchebychev — resserrées près des bords, là où des nœuds équidistants laissent l'interpolant osciller. C'est la raison pour laquelle le calcul scientifique interpole aux points de Tchebychev.

Le théorème obtenu — théorème de Tchebychev. Pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n\ge 1$, $\underset{x\in [-1,1]}{\sup }|P(x)|\ge \frac{1}{2^{n-1}}$, et le polynôme $2^{1-n}{T}_n$, dont les racines sont les $\cos \frac{(2k+1)\pi }{2n}$, est celui qui réalise le minimum. En conséquence, les racines de $T_n$ sont les nœuds qui minimisent le facteur $\sup |\omega |$ de l'erreur d'interpolation.

Ce que le problème installe. Trois idées. Un polynôme peut être défini par ses valeurs sur un ensemble infini — ici $T_n(\cos \theta )=\cos n\theta$ — et l'unicité vient du nombre de racines. Ses racines et ses extrema se lisent sur un paramétrage trigonométrique, sans aucun calcul de coefficients. Et le lemme « degré au plus $n-1$ et $n$ changements de signe, donc nul » est l'outil de toute l'approximation uniforme : c'est lui qui fait de l'équi-oscillation la signature du meilleur polynôme. On retrouvera les $T_n$ au chapitre 15, comme famille orthogonale pour un produit scalaire à poids.