Des moments nuls forcent des changements de signe

La stratégie. Par l'absurde, en fabriquant un polynôme. Si $f$ changeait de signe trop peu de fois, on saurait construire un polynôme $P$ de degré au plus $n$ qui change de signe aux mêmes endroits ; le produit $Pf$ serait alors de signe constant, et son intégrale, nulle par hypothèse, forcerait $Pf$ à être nul.

Préliminaire : une seule hypothèse. Par linéarité de l'intégrale, les $n+1$ hypothèses se résument en une : $${\int }_0^{1}P(t)f(t)\mathrm{d}t=0\text{pour tout polynoˆme }P\text{ de degreˊ au plus }n.$$ En effet, $P={\sum }_{k\le n}{\alpha }_k{t}^k$ donne $\int Pf={\sum }_k{\alpha }_k\int t^{k}f=0$. Autrement dit, $f$ est orthogonale à ${\mathbb{R}}_n[X]$ pour le produit scalaire ${\int }_0^1$.

Premier cas : $f$ a une infinité de zéros dans $]0,1[$. Alors il n'y a rien à démontrer — elle en a en particulier $n+1$. Ce cas couvre $f=0$.

Second cas : $f$ n'a qu'un nombre fini de zéros dans $]0,1[$. Notons-les $z_1<z_2<\cdots <z_q$ (avec éventuellement $q=0$). Sur chacun des intervalles ouverts $]0,z_1[$, $]z_1,z_2[$, …, $]z_q,1[$, la fonction $f$ est continue et ne s'annule pas : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle y garde un signe strict constant. On dit que $f$ change de signe en $z_i$ si les signes de $f$ sur les deux intervalles adjacents à $z_i$ sont opposés. Soient $a_1<\cdots <a_m$ les zéros où $f$ change de signe — ce sont certains des $z_i$, donc $m\le q$.

Supposons par l'absurde que $m\le n$. Posons $$P(t)=\prod _{i=1}^m(t-a_i),$$ polynôme de degré $m\le n$ (le produit vide vaut $1$ si $m=0$). Ce polynôme change de signe exactement aux points $a_i$, et nulle part ailleurs. Regardons le signe du produit $Pf$ sur $[0,1]$ : sur chaque intervalle entre deux zéros consécutifs de $f$, $f$ et $P$ ont chacun un signe constant, donc $Pf$ aussi. En traversant un zéro $z_i$ de $f$ qui n'est pas un changement de signe, $f$ garde son signe et $P$ aussi (car $z_i$ n'est pas un $a_j$) : le signe de $Pf$ ne change pas. En traversant un $a_j$, $f$ et $P$ changent de signe simultanément : le signe de $Pf$ ne change pas non plus. Donc $Pf$ garde un signe constant au sens large sur $[0,1]$ : $Pf\ge 0$ partout, ou $Pf\le 0$ partout.

La contradiction. $Pf$ est continue, de signe constant, et ${\int }_0^{1}Pf=0$ par le préliminaire, puisque $\mathrm{deg}P\le n$. Le théorème « continue, de signe constant, d'intégrale nulle » donne $Pf=0$ sur $[0,1]$. Or $P$ n'a qu'un nombre fini de racines : $f$ est nulle sur $[0,1]$ privé d'un ensemble fini, donc partout par continuité. Mais alors $f$ a une infinité de zéros, ce qui contredit l'hypothèse du second cas.

Conclusion. Dans le second cas, $m\ge n+1$ : $f$ change de signe en au moins $n+1$ points de $]0,1[$, et chacun est un zéro de $f$. Dans les deux cas, $f$ s'annule en au moins $n+1$ points distincts de $]0,1[$.

Deux points délicats. Le degré de $P$ doit rester au plus $n$, sinon l'hypothèse ne s'applique plus : c'est pourquoi on place une racine à chaque changement de signe et à aucun autre endroit. Et l'on compte les changements de signe, pas les zéros : un zéro sans changement de signe, comme celui de $t\mapsto (t-\frac{1}{2}{)}^2$, ne doit pas recevoir de racine de $P$, sinon $Pf$ changerait de signe et l'argument s'effondrerait.

Contrôle, et optimalité. Pour $n=0$, l'hypothèse est ${\int }_0^{1}f=0$ et la conclusion « $f$ s'annule au moins une fois » : c'est l'exercice précédent. Pour $n=1$, le polynôme $L(t)=t^2-t+\frac{1}{6}$ vérifie ${\int }_0^{1}L=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=0$ et ${\int }_0^{1}tL=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=0$, et il s'annule exactement deux fois dans $]0,1[$, en $\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{6}$ : la borne $n+1=2$ est atteinte, elle est optimale.

Ce que l'exercice installe. Être orthogonal à tout un espace de polynômes coûte des changements de signe : on ne peut pas avoir ses $n+1$ premiers moments nuls sans osciller au moins $n+1$ fois. C'est le mécanisme qui garantit que les polynômes orthogonaux du chapitre précédent — Legendre, dont $P_n$ est orthogonal à ${\mathbb{R}}_{n-1}[X]$ — ont toutes leurs racines réelles, simples, et intérieures à l'intervalle : la propriété sur laquelle reposent les formules de quadrature de Gauss.