Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale. Pour f, g continues sur [a,b]…

Stratégie : le trinôme. On fabrique une quantité manifestement positive dépendant d'un paramètre réel, on l'écrit comme un polynôme du second degré en ce paramètre, et l'on lit son discriminant. C'est le même mécanisme qu'au chapitre 2 — il n'a pas changé, seul le produit scalaire a changé.

a) La fonction auxiliaire. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, la fonction $(f+\lambda g{)}^2$ est continue et positive, donc son intégrale l'est : $$\phi (\lambda )={\int }_a^b(f+\lambda g{)}^2={\lambda }^2\underset{\alpha }{\underbrace{{\int }_a^b{g}^2}}+2\lambda \underset{\beta }{\underbrace{{\int }_a^{b}fg}}+\underset{\gamma }{\underbrace{{\int }_a^b{f}^2}}⩾0\text{pour tout }\lambda \in \mathbb{R}.$$

b) Cas $\alpha =\int g^2\ne 0$. $\phi$ est alors un vrai trinôme du second degré, de coefficient dominant $\alpha >0$, positif ou nul sur $\mathbb{R}$ tout entier : son discriminant est négatif ou nul. $$4{\beta }^2-4\alpha \gamma ⩽0⟺\boxed{{\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2⩽{\int }_a^b{f}^2\cdot {\int }_a^b{g}^2}$$

⚠️ Le cas dégénéré, qu'on saute une fois sur deux. Si $\int g^2=0$, $\phi$ est de degré $⩽1$ et parler de son discriminant n'a aucun sens. Il faut le traiter à part : $g^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle, donc $g\equiv 0$ ; les deux membres de l'inégalité valent alors $0$, et elle est vraie (avec égalité). C'est un trou silencieux dans beaucoup de rédactions, et il se bouche en une ligne.

c) Cas d'égalité. Supposons ${\beta }^2=\alpha \gamma$ avec $g\not\equiv 0$ (donc $\alpha >0$). Le discriminant est nul : $\phi$ admet une racine double ${\lambda }_0$, et $$\phi ({\lambda }_0)={\int }_a^b(f+{\lambda }_{0}g{)}^2=0.$$ La fonction $(f+{\lambda }_{0}g{)}^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle : elle est identiquement nulle, donc $f=-{\lambda }_{0}g$. Réciproquement, si $f=\mu g$, un calcul direct donne l'égalité. Donc $$\text{eˊgaliteˊ}⟺f\text{et}g\text{sont proportionnelles.}$$

Contrôle. $f(t)=t$, $g(t)=t^2$ sur $[0,1]$ : $${\left({\int }_0^1{t}^3\right)}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}=0,0625,{\int }_0^1{t}^2\cdot {\int }_0^1{t}^4=\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{15}\approx 0,0667.$$ $\frac{1}{16}⩽\frac{1}{15}$ ✓, avec inégalité stricte — conforme au fait que $t$ et $t^2$ ne sont pas proportionnelles. Le trinôme vaut ici $\phi (\lambda )=\frac{{\lambda }^2}{5}+\frac{\lambda }{2}+\frac{1}{3}$, de discriminant $\frac{1}{4}-\frac{4}{15}=-\frac{1}{60}<0$ ✓. Contrôle du cas d'égalité : $g=2f$ donne ${\left(\int 2t^2\right)}^2=\frac{4}{9}$ et $\int t^2\cdot \int 4t^2=\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}=\frac{4}{9}$ ✓.

Ce que l'exercice installe. C'est le même trinôme qu'au chapitre 2 (Cauchy-Schwarz algébrique), qu'au chapitre 15 (préhilbertien) et qu'au chapitre 19 (probabiliste, sous le nom de $\mathrm{Cov}(X,Y{)}^2⩽\mathrm{V}(X)\mathrm{V}(Y)$). Ce ne sont pas quatre théorèmes mais un seul, appliqué à quatre produits scalaires. Ce qu'on vient de démontrer, c'est que $⟨f,g⟩={\int }_a^{b}fg$ est un produit scalaire sur $\mathcal{C}([a,b])$ — celui dont le chapitre 15 s'est servi pour construire les polynômes de Legendre et les moindres carrés.