Le lemme de Riemann-Lebesgue

La stratégie. C'est la construction même de l'intégrale qui devient une méthode : on démontre le résultat pour les fonctions en escalier, où tout se calcule ; on l'obtient aussi pour les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec une vitesse ; puis on l'étend aux fonctions continues par approximation uniforme, en coupant $\epsilon$ en morceaux. L'idée à retenir : quand $n$ est grand, $\sin (nt)$ oscille si vite que ses bosses positives et négatives se compensent sous n'importe quelle fonction régulière.

a) Les fonctions en escalier. Sur chaque intervalle $[a_k,a_{k+1}]$, la fonction $t\mapsto \phi (t)\sin (nt)$ coïncide avec la fonction continue $t\mapsto c_k\sin (nt)$, sauf éventuellement aux deux extrémités ; l'intégrale ne voit pas les valeurs prises en un nombre fini de points. Par la relation de Chasles, $${\int }_a^b\phi (t)\sin (nt)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^{m-1}{\int }_{a_k}^{a_{k+1}}{c}_k\sin (nt)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^{m-1}{c}_k[-\frac{\cos (nt)}{n}{]}_{a_k}^{a_{k+1}}=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{m-1}{c}_k(\cos (n{a}_k)-\cos (n{a}_{k+1})).$$ Chaque différence de cosinus est majorée en valeur absolue par $2$ ; par l'inégalité triangulaire, $$|{\int }_a^b\phi (t)\sin (nt)\mathrm{d}t|\le \frac{2}{n}\sum _{k=0}^{m-1}|c_k|.$$ La somme est une constante — elle ne dépend que de $\phi$, pas de $n$ — donc le majorant tend vers $0$ quand $n\to \infty$. Pour une fonction en escalier, le résultat est un calcul exact.

b) Les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$. Intégrons par parties avec $u=f$, $v^{\prime }=\sin (nt)$, $v=-\frac{\cos (nt)}{n}$ — licite car $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $${\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t=[-\frac{f(t)\cos (nt)}{n}{]}_a^b+\frac{1}{n}{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)\cos (nt)\mathrm{d}t.$$ Le crochet vaut $\frac{f(a)\cos (na)-f(b)\cos (nb)}{n}$, majoré en valeur absolue par $\frac{|f(a)|+|f(b)|}{n}$. L'intégrale restante est majorée, par l'inégalité triangulaire intégrale et $|\cos |\le 1$, par $\frac{1}{n}{\int }_a^b|f^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$. D'où la majoration annoncée. Pour une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, non seulement l'intégrale tend vers $0$, mais elle le fait au moins aussi vite que $\frac{1}{n}$.

c) Les fonctions continues, par approximation. Soit $\epsilon >0$. Choisissons $\phi$ en escalier avec $|f-\phi |\le \epsilon$ sur $[a,b]$. Pour tout $n$, coupons en deux : $${\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t={\int }_a^b(f(t)-\phi (t))\sin (nt)\mathrm{d}t+{\int }_a^b\phi (t)\sin (nt)\mathrm{d}t.$$ Le premier terme est majoré en valeur absolue par ${\int }_a^b|f-\phi |\cdot |\sin (nt)|\mathrm{d}t\le \epsilon (b-a)$, quel que soit $n$. Le second est majoré par $\frac{2}{n}{\sum }_k|c_k|$ d'après le a), où la somme ne dépend que de $\phi$, donc de $\epsilon$, mais pas de $n$ : il existe $N$ tel que, pour $n\ge N$, ce second terme soit majoré par $\epsilon$. Ainsi, pour $n\ge N$, $$|{\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t|\le \epsilon (b-a)+\epsilon =\epsilon (b-a+1).$$ Comme $\epsilon$ est arbitraire, l'intégrale tend vers $0$.

Le point délicat. L'ordre des choix : on fixe $\epsilon$, puis $\phi$ (qui dépend de $\epsilon$), puis $N$ (qui dépend de $\phi$). Le premier terme est contrôlé uniformément en $n$ grâce à l'approximation uniforme — un $\epsilon$ valable en tout point — et c'est le théorème de Heine qui la garantit. Un contrôle point par point ne suffirait pas à majorer une intégrale.

Si $f$ est seulement continue par morceaux. Sur chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ de sa subdivision, $f$ est continue et admet des limites finies aux extrémités ; la fonction prolongée par ces limites est continue sur le segment $[a_i,a_{i+1}]$, et coïncide avec $f$ sauf en deux points au plus. On applique le résultat sur chaque morceau et l'on somme par Chasles : la conclusion subsiste. (De façon équivalente, une fonction continue par morceaux est elle aussi limite uniforme de fonctions en escalier.)

d) Deux applications. La fonction $t\mapsto \frac{1}{1+t}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,\pi ]$ : par le c), ${\int }_0^{\pi }\frac{\sin (nt)}{1+t}\mathrm{d}t\to 0$. Le b) donne de plus la vitesse : avec $f(0)=1$, $f(\pi )=\frac{1}{1+\pi }$ et ${\int }_0^{\pi }|f^{\prime }|={\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}t}{(1+t{)}^2}=1-\frac{1}{1+\pi }$, la somme vaut $1+\frac{1}{1+\pi }+1-\frac{1}{1+\pi }=2$, et $$\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\sin (nt)}{1+t}\mathrm{d}t\right|\le \frac{2}{n}.$$ La fonction $t\mapsto |\cos t|$ est continue sur $[0,2\pi ]$ (mais pas de classe ${\mathcal{C}}^1$ : elle a des points anguleux en $\frac{\pi }{2}$ et $\frac{3\pi }{2}$) : le c) s'applique, et ${\int }_0^{2\pi }|\cos t|\sin (nt)\mathrm{d}t\to 0$. Ici, en fait, la limite est atteinte dès $n=1$ : le changement de variable $t=2\pi -s$ transforme l'intégrale en ${\int }_0^{2\pi }|\cos s|\sin (2\pi n-ns)\mathrm{d}s=-{\int }_0^{2\pi }|\cos s|\sin (ns)\mathrm{d}s$, car $|\cos (2\pi -s)|=|\cos s|$ et $\sin (2\pi n-ns)=-\sin (ns)$ ; l'intégrale est égale à son opposée, donc nulle pour tout $n$. Le lemme donne la limite sans effort ; la symétrie donne la valeur.

Ce que l'exercice installe. Une méthode : démontrer sur les fonctions en escalier, où l'on calcule, puis étendre aux fonctions continues par approximation uniforme et découpage de $\epsilon$. C'est ainsi que l'intégrale a été construite, et c'est ainsi qu'on démontre la plupart de ses propriétés fines. Et un fait : les oscillations rapides s'annulent en moyenne — le lemme de Riemann-Lebesgue, qui dit en deuxième année que les coefficients de Fourier d'une fonction continue tendent vers $0$, et avec quelle vitesse quand la fonction est régulière.