Le nombre $e$ est irrationnel

La stratégie. Par l'absurde, en fabriquant un entier strictement compris entre $0$ et $1$ — objet dont l'inexistence est la seule chose qu'on utilisera. Toute la preuve consiste à rendre ce nombre à la fois entier (par l'hypothèse de rationalité) et strictement entre $0$ et $1$ (par Taylor).

a) L'encadrement. La fonction $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et toutes ses dérivées sont $\exp$. La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $q$, entre $a=0$ et $x=1$, s'écrit $$e=\sum _{k=0}^q\frac{1}{k!}+{\int }_0^1\frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t\mathrm{d}t.$$ Signe strict. L'intégrande $t\mapsto \frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t$ est continu, positif sur $[0,1]$, et non identiquement nul (il vaut $\frac{1}{q!}>0$ en $t=0$) : son intégrale est strictement positive, par le théorème « continue positive d'intégrale nulle, donc nulle », lu par contraposée. D'où $e-{\sum }_{k\le q}\frac{1}{k!}>0$.

Majoration. Sur $[0,1]$, $e^t\le e<3$, donc $${\int }_0^1\frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t\mathrm{d}t\le \frac{3}{q!}{\int }_0^1(1-t{)}^q\mathrm{d}t=\frac{3}{q!}\cdot \frac{1}{q+1}=\frac{3}{(q+1)!}.$$ C'est aussi ce que donne l'inégalité de Taylor-Lagrange avec $M_{q+1}=3$ ; le reste intégral a l'avantage de fournir le signe strict, et non seulement la taille.

Le point délicat. La positivité stricte de gauche est aussi importante que la majoration de droite : sans elle, le nombre $N$ construit au b) pourrait valoir $0$, et il n'y aurait aucune contradiction.