Le nombre $e$ est irrationnel

La stratégie. Par l'absurde, en fabriquant un entier strictement compris entre $0$ et $1$ — objet dont l'inexistence est la seule chose qu'on utilisera. Toute la preuve consiste à rendre ce nombre à la fois entier (par l'hypothèse de rationalité) et strictement entre $0$ et $1$ (par Taylor).

a) L'encadrement. La fonction $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et toutes ses dérivées sont $\exp$. La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $q$, entre $a=0$ et $x=1$, s'écrit $$e=\sum _{k=0}^q\frac{1}{k!}+{\int }_0^1\frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t\mathrm{d}t.$$ Signe strict. L'intégrande $t\mapsto \frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t$ est continu, positif sur $[0,1]$, et non identiquement nul (il vaut $\frac{1}{q!}>0$ en $t=0$) : son intégrale est strictement positive, par le théorème « continue positive d'intégrale nulle, donc nulle », lu par contraposée. D'où $e-{\sum }_{k\le q}\frac{1}{k!}>0$.

Majoration. Sur $[0,1]$, $e^t\le e<3$, donc $${\int }_0^1\frac{(1-t{)}^q}{q!}{e}^t\mathrm{d}t\le \frac{3}{q!}{\int }_0^1(1-t{)}^q\mathrm{d}t=\frac{3}{q!}\cdot \frac{1}{q+1}=\frac{3}{(q+1)!}.$$ C'est aussi ce que donne l'inégalité de Taylor-Lagrange avec $M_{q+1}=3$ ; le reste intégral a l'avantage de fournir le signe strict, et non seulement la taille.

Le point délicat. La positivité stricte de gauche est aussi importante que la majoration de droite : sans elle, le nombre $N$ construit au b) pourrait valoir $0$, et il n'y aurait aucune contradiction.

b) L'hypothèse d'absurde. Supposons $e=\frac{p}{q}$. Une fraction a une infinité d'écritures : $e=\frac{3p}{3q}$, et l'on peut donc supposer $q\ge 3$. Multiplions l'encadrement du a) par $q!>0$ : $$0<N=q!e-q!\sum _{k=0}^q\frac{1}{k!}\le \frac{3q!}{(q+1)!}=\frac{3}{q+1}.$$

$N$ est un entier. Les deux morceaux le sont. D'abord $q!e=q!\cdot \frac{p}{q}=(q-1)!p\in \mathbb{Z}$ — c'est ici, et seulement ici, que sert la rationalité. Ensuite $q!{\sum }_{k=0}^q\frac{1}{k!}={\sum }_{k=0}^q\frac{q!}{k!}$, et pour $k\le q$, $\frac{q!}{k!}=(k+1)(k+2)\cdots q$ est un produit d'entiers, donc un entier. Une différence d'entiers est un entier : $N\in \mathbb{Z}$.

La contradiction. Comme $q\ge 3$, $\frac{3}{q+1}\le \frac{3}{4}<1$, donc $0<N<1$. Il n'existe aucun entier strictement compris entre $0$ et $1$. L'hypothèse est absurde : $$e\notin \mathbb{Q}.$$

Pourquoi $q\ge 3$ n'est pas une coquetterie. Pour $q=1$, le majorant vaudrait $\frac{3}{2}>1$ ; pour $q=2$, il vaudrait $1$, et $N=1$ ne contredirait rien. Il faut donc dire pourquoi l'on peut supposer $q$ assez grand — et c'est gratuit.

Contrôle numérique. Pour $q=3$ : ${\sum }_{k\le 3}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\approx 2,6667$, et $N=6(e-\frac{8}{3})\approx 6\times 0,05162\approx 0,3097$, bien dans $]0,\frac{3}{4}]$, et visiblement non entier — ce qui est exactement la contradiction attendue. Pour $q=5$ : $N\approx 0,1938\le \frac{1}{2}$.

Ce que l'exercice installe. Une preuve d'irrationalité consiste à montrer qu'un nombre est trop bien approché par des rationnels de petit dénominateur : ici $\frac{3}{(q+1)!}$ décroît plus vite que toute puissance de $\frac{1}{q}$, et il ne reste littéralement pas la place d'y loger un entier. Le même schéma, raffiné, donne l'irrationalité de $e^r$ pour tout rationnel $r\ne 0$, puis celle de $\pi$. Et l'exercice montre à quoi sert une inégalité à constante explicite : non pas à calculer, mais à interdire.