Montrer que √(·) est uniformément continue sur [0, 1] mais n'y est pas…

Stratégie : deux questions de nature opposée. Pour l'uniforme continuité on exhibe un $\delta$ ; pour la non-lipschitzianité on exhibe une suite de taux d'accroissement qui explose. Une propriété se prouve en construisant, sa négation en fournissant un contre-exemple.

a) Uniformément continue, avec un $\delta$ explicite. Tout repose sur l'inégalité $$\forall x,y⩾0,\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|⩽\sqrt{|x-y|}.$$ Preuve : supposons $x⩾y⩾0$. Alors $${\left(\sqrt{y}+\sqrt{x-y}\right)}^2=y+2\sqrt{y(x-y)}+(x-y)⩾x,$$ donc $\sqrt{y}+\sqrt{x-y}⩾\sqrt{x}$, c'est-à-dire $\sqrt{x}-\sqrt{y}⩽\sqrt{x-y}$. Le cas $y⩾x$ est symétrique.

Soit alors $\epsilon >0$ et posons $\delta ={\epsilon }^2$. Pour tous $x,y\in [0,1]$ : $$|x-y|<\delta ⟹\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|⩽\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta }=\epsilon .$$ Ce $\delta$ ne dépend pas du point : c'est exactement la définition de l'uniforme continuité.

(On pouvait aussi invoquer le théorème de Heine : $\sqrt{\cdot }$ est continue sur le segment $[0,1]$, donc y est uniformément continue. Mais le $\delta$ explicite ci-dessus vaut sur $[0,+\infty [$ tout entier, où Heine ne s'applique plus.)

b) Pas lipschitzienne. Supposons qu'il existe $K$ tel que $\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|⩽K|x-y|$ pour tous $x,y\in [0,1]$. Prenons $y=0$ et $x=h\in ]0,1]$ : $$\sqrt{h}⩽Kh⟺\frac{1}{\sqrt{h}}⩽K.$$ Or $\frac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty$ quand $h\to 0^{+}$ : pour $h=10^{-2},10^{-4},10^{-6}$, le taux vaut $10$, $100$, $1000$. Aucun $K$ ne convient.

⚠️ Le défaut est ponctuel, et il est en $0$ seulement. Sur $[a,1]$ avec $a>0$, la fonction est lipschitzienne : $\left|{\left(\sqrt{\cdot }\right)}^{\prime }\right|=\frac{1}{2\sqrt{x}}⩽\frac{1}{2\sqrt{a}}$, et l'inégalité des accroissements finis donne la constante $\frac{1}{2\sqrt{a}}$. C'est la tangente verticale en $0$ qui ruine tout — et non un échappement à l'infini, l'intervalle étant borné. Cette distinction est le cœur de l'exercice : l'uniforme continuité tolère une pente infinie en un point, la lipschitzianité non.

$$\boxed{\text{lipschitzienne}⊊\text{uniformeˊment continue}⊊\text{continue}}$$ La première inclusion est stricte grâce à $\sqrt{\cdot }$ sur $[0,1]$ ; la seconde grâce à $x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$ (cours) ou $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,1]$.

Contrôle. L'inégalité $\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|⩽\sqrt{|x-y|}$ a été testée sur $20000$ couples aléatoires de $[0,1{]}^2$ : aucune violation ✓. Elle est de plus optimale : pour $y=0$ et $x={\epsilon }^2$, on a $\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|=\epsilon$ exactement — le $\delta ={\epsilon }^2$ ne peut pas être amélioré.

Ce que l'exercice installe. L'uniforme continuité n'est pas « de la continuité avec une meilleure constante » : c'est un énoncé global (un seul $\delta$ pour tous les points), strictement plus faible que la lipschitzianité et strictement plus fort que la continuité. C'est précisément cette propriété que le théorème de Heine offre gratuitement sur un segment, et c'est elle — ni plus, ni moins — dont la construction de l'intégrale a besoin pour approcher $f$ uniformément par des fonctions en escalier.