Une fonction uniformément continue croît au plus comme une droite

La stratégie. L'uniforme continuité borne l'accroissement de $f$ sur chaque pas de longueur $\delta$, et ce $\delta$ est le même partout. Pour aller de $0$ à $x$, il faut environ $\frac{x}{\delta }$ pas ; l'accroissement total est donc borné par quelque chose de proportionnel à $x$. C'est une croissance au plus affine.

a) Avancer par pas. Appliquons la définition de l'uniforme continuité avec $\epsilon =1$ : il existe $\delta >0$ tel que $$\forall u,v\ge 0,|u-v|\le \delta ⟹|f(u)-f(v)|\le 1.$$

Le point délicat. C'est ici, et une seule fois, que l'uniformité sert — mais elle sert partout ensuite : ce $\delta$ est le même sur tout $[0,+\infty [$. Avec la continuité simple, on aurait un ${\delta }_u$ par point, qui pourrait tendre vers $0$ quand $u$ grandit, et le nombre de pas nécessaires pour atteindre $x$ ne serait plus contrôlé.

Soit $x\ge 0$. Notons $N$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{x}{\delta }$, de sorte que $N\le \frac{x}{\delta }+1$ (on prend $N=1$ si $x=0$). Subdivisons $[0,x]$ en $N$ parts égales, par les points $x_j=\frac{jx}{N}$ pour $j=0,\dots ,N$ : le pas est $\frac{x}{N}\le \delta$, puisque $N\ge \frac{x}{\delta }$. Chaque couple $(x_{j-1},x_j)$ vérifie donc l'hypothèse du $\delta$, et $|f(x_j)-f(x_{j-1})|\le 1$. Par télescopage et inégalité triangulaire, $$|f(x)-f(0)|=\left|\sum _{j=1}^N\right(f(x_j)-f(x_{j-1})\left)\right|\le \sum _{j=1}^N|f(x_j)-f(x_{j-1})|\le N.$$ D'où $$|f(x)|\le |f(0)|+N\le |f(0)|+\frac{x}{\delta }+1,$$ et la majoration annoncée vaut avec $a=\frac{1}{\delta }$ et $b=|f(0)|+1$, tous deux strictement positifs.

b) La contraposée. Si $x\mapsto x^2$ était uniformément continue sur $[0,+\infty [$, on aurait $x^2\le ax+b$ pour tout $x\ge 0$, avec $a,b$ fixés. Or $\frac{x^2}{ax+b}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$ (le numérateur est de degré $2$, le dénominateur de degré $1$) : pour $x$ assez grand, $x^2>ax+b$. Contradiction. Une fonction qui croît plus vite que toute fonction affine n'est pas uniformément continue — c'est la façon la plus rapide de voir que le carré ne l'est pas.

c) La réciproque est fausse. La fonction $g:x\mapsto \sin (x^2)$ est bornée par $1$, donc vérifie $|g(x)|\le 0\cdot x+1$ : elle a une croissance affine. Montrons pourtant qu'elle n'est pas uniformément continue. Avec $x_n=\sqrt{2\pi n}$ et $y_n=\sqrt{2\pi n+\frac{\pi }{2}}$ : $$y_n-x_n=\frac{y_n^2-x_n^2}{y_n+x_n}=\frac{\pi /2}{\sqrt{2\pi n+\pi /2}+\sqrt{2\pi n}}\underset{n\to \infty }{\to }0,$$ par la quantité conjuguée. Et pourtant $g(y_n)-g(x_n)=\sin (2\pi n+\frac{\pi }{2})-\sin (2\pi n)=1-0=1$. Si $g$ était uniformément continue, pour $\epsilon =\frac{1}{2}$ il existerait $\delta$ tel que $|u-v|\le \delta$ entraîne $|g(u)-g(v)|\le \frac{1}{2}$ ; or pour $n$ assez grand, $y_n-x_n\le \delta$ et $|g(y_n)-g(x_n)|=1>\frac{1}{2}$. Contradiction : $g$ n'est pas uniformément continue. Ce qui la trahit n'est pas sa taille — elle est bornée — mais ses oscillations, de plus en plus rapides quand $x$ grandit : la pente $g^{\prime }(x)=2x\cos (x^2)$ n'est pas bornée.

Ce que l'exercice installe. L'uniforme continuité interdit les pentes arbitrairement raides à l'infini : à grande échelle, la fonction se comporte comme si sa pente était bornée — c'est la lecture quantitative de « un seul $\delta$ pour tout le monde ». D'où deux réflexes sur un intervalle non borné : pour montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue, on montre qu'elle croît trop vite, ou qu'elle oscille trop vite (deux suites qui se rapprochent, deux images qui ne se rapprochent pas) ; pour montrer qu'elle l'est, on cherche une constante de Lipschitz ou un $\delta$ explicite.