Une intégrale égale à un demi force un point fixe

La stratégie. Il faut transformer une information globale — la valeur d'une intégrale — en une information ponctuelle — l'existence d'un $c$. C'est exactement ce que sait faire le théorème « continue, de signe constant, d'intégrale nulle, donc nulle », combiné au théorème des valeurs intermédiaires. On raisonne par l'absurde.

La fonction auxiliaire. Posons $g(t)=f(t)-t$, continue sur $[0,1]$. Elle est faite pour que « $f$ a un point fixe » devienne « $g$ s'annule ». Son intégrale se calcule : $${\int }_0^{1}g(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.$$ C'est là que la valeur $\frac{1}{2}$ de l'énoncé prend son sens : c'est la valeur moyenne de l'identité sur $[0,1]$.

Le raisonnement par l'absurde. Supposons que $g$ ne s'annule en aucun point de $[0,1]$. Comme $g$ est continue sur un intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires interdit à $g$ de prendre deux valeurs de signes contraires sans s'annuler entre les deux : $g$ garde donc un signe strict constant, $g>0$ partout ou $g<0$ partout.

Traitons le cas $g>0$ ; l'autre s'y ramène en remplaçant $g$ par $-g$, dont l'intégrale est aussi nulle. Alors $g$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[0,1]$ : le théorème du cours donne $g=0$ sur $[0,1]$, ce qui contredit $g>0$.

Donc $g$ s'annule : il existe $c\in [0,1]$ tel que $f(c)=c$.

Le point délicat. La continuité sert deux fois — pour le théorème des valeurs intermédiaires, et pour « positive d'intégrale nulle, donc nulle » — et sa perte est fatale. Voici une fonction continue par morceaux qui met l'énoncé en défaut : $$f(t)=t+\frac{1}{2}\text{ si }0\le t<\frac{1}{2},f(t)=t-\frac{1}{2}\text{ si }\frac{1}{2}\le t\le 1.$$ On a ${\int }_0^{1/2}(t+\frac{1}{2})\mathrm{d}t=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$ et ${\int }_{1/2}^1(t-\frac{1}{2})\mathrm{d}t=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$, donc ${\int }_0^{1}f=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$ ; et pourtant $f(t)-t=\pm \frac{1}{2}\ne 0$ en tout point : aucun point fixe. Le résultat ne subsiste pas.

Trois contrôles. $f(t)=t^2+\frac{1}{6}$ : ${\int }_0^{1}f=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ ; les points fixes sont les racines de $t^2-t+\frac{1}{6}=0$, de discriminant $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}>0$, à savoir $\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{6}\approx 0,211$ et $0,789$, toutes deux dans $[0,1]$. La constante $f=\frac{1}{2}$ : point fixe $c=\frac{1}{2}$. L'identité $f(t)=t$ : tout point est fixe.

Ce que l'exercice installe. Le trio « continue $+$ de signe constant $+$ intégrale nulle $\Rightarrow$ identiquement nulle » est l'outil qui fait passer d'une égalité intégrale à un énoncé point par point. C'est lui qui rend $⟨f,g⟩=\int fg$ défini positif, donc produit scalaire, au chapitre précédent ; c'est lui, ici, qui extrait un point fixe de la seule donnée d'un nombre. Chaque fois qu'une hypothèse est une intégrale et que la conclusion est ponctuelle, c'est ce théorème qu'il faut appeler — après avoir fabriqué la bonne fonction auxiliaire.