Combien 720 = 2⁴ × 3² × 5 a-t-il de diviseurs positifs ? Généraliser à…

Stratégie : mettre l'ensemble à compter en bijection avec un produit cartésien. C'est le geste fondamental du chapitre : on ne compte pas les diviseurs un par un, on les code.

1) Le codage. Un entier $d⩾1$ divise $720=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1$ si et seulement si $$d=2^a{3}^b{5}^c\text{avec}0⩽a⩽4,0⩽b⩽2,0⩽c⩽1$$ (théorème de décomposition en facteurs premiers, chapitre 7 : un diviseur de $N$ n'a pas d'autre facteur premier que ceux de $N$, et avec des exposants au plus égaux).

2) C'est une bijection. L'application $$\phi :[[0,4]]\times [[0,2]]\times [[0,1]]⟶\mathcal{D}(720),(a,b,c)⟼2^a{3}^b{5}^c$$ est surjective par le point 1, et injective par l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Le cardinal d'un produit cartésien étant le produit des cardinaux : $$\mathrm{card}\mathcal{D}(720)=5\times 3\times 2=\boxed{30}$$

⚠️ Deux points délicats, tous deux sur les bords. D'abord, chaque exposant prend $a_i+1$ valeurs et non $a_i$ : il faut compter $0$, qui code le fait que le premier n'apparaît pas. Ensuite, l'injectivité de $\phi$ n'est pas évidente : elle est l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Sans elle, on compterait plusieurs fois le même diviseur écrit de deux façons.

3) Le cas général. Le même argument donne, pour $N=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ (les $p_i$ premiers distincts) : $$d(N)=\prod _{i=1}^r(a_i+1)$$

Contrôle. Énumération exhaustive des diviseurs de $720$ : $1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,30,36,40,45,48,60,72,80,90,120,144,180,240,360,720$ — on en compte bien $30$ ✓. Petit cas indépendant : $12=2^2\cdot 3$ donne $3\times 2=6$, et l'on a bien $\{1,2,3,4,6,12\}$ ✓.

Ce que l'exercice installe : compter, c'est construire une bijection. Ici avec un produit cartésien ; au n° 11 ce sera avec des mots, au n° 13 avec des chemins. La forme $\prod (a_i+1)$ montre au passage que $d(N)$ est impair si et seulement si $N$ est un carré parfait — tous les $a_i$ pairs.