Combien de diagonales possède un polygone convexe à n sommets (n ≥ 3)…

Stratégie : compter tout, puis retrancher. On compte d'abord tous les segments joignant deux sommets, puis on retire ceux qui ne sont pas des diagonales — les côtés.

1) Tous les segments. Un segment est déterminé par la paire de ses extrémités (l'ordre ne compte pas : $[A B] = [B A]$ ). Les paires de sommets sont au nombre de $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

2) Les côtés. Les côtés sont les segments joignant deux sommets consécutifs. En parcourant le polygone $S_{1} S_{2} \dots S_{n} S_{1}$ , il y en a exactement $n$ (un par sommet, celui qui le relie au suivant, le dernier refermant le cycle).

3) Les diagonales. Ce sont tous les autres : $(2 n) - n = \frac{n ( n - 1 )}{2} - n = \frac{n ( n - 1 ) - 2 n}{2} = \frac{n ( n - 3 )}{2}$

⚠️ Le point délicat : où sert la convexité ? Elle garantit que deux sommets non consécutifs sont joints par un segment intérieur au polygone — c'est-à-dire que la définition géométrique de « diagonale » coïncide avec la définition combinatoire « paire de sommets non consécutifs ». Pour un polygone croisé ou non convexe, le nombre reste $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ , mais certaines de ces diagonales sortent du polygone. La convexité ne change pas le compte : elle rend l'énoncé géométriquement honnête.

⚠️ Second piège, arithmétique : la formule prédit $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ , qui doit être un entier. C'est bien le cas, car $n$ et $n - 3$ sont de parités opposées, donc leur produit est pair.

Contrôle. $n = 3$ (triangle) : $\frac{3 \times 0}{2} = 0$ — un triangle n'a pas de diagonale ✓. $n = 4$ (quadrilatère) : $\frac{4 \times 1}{2} = 2$ , les deux diagonales du quadrilatère ✓. $n = 5$ (pentagone) : $\frac{5 \times 2}{2} = 5$ — ce sont les cinq côtés du pentagramme inscrit ✓. $n = 6$ : $\frac{6 \times 3}{2} = 9$ , vérifié par énumération ✓.

Ce que l'exercice installe : le comptage par complémentaire, « tout moins ce qu'on ne veut pas ». C'est presque toujours plus court que de compter directement ce qu'on veut — le n° 7 (comités contenant au moins deux femmes) et le calcul des probabilités « au moins un » vivent du même principe.

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