Combien de diagonales possède un polygone convexe à n sommets (n ≥ 3)…

Stratégie : compter tout, puis retrancher. On compte d'abord tous les segments joignant deux sommets, puis on retire ceux qui ne sont pas des diagonales — les côtés.

1) Tous les segments. Un segment est déterminé par la paire de ses extrémités (l'ordre ne compte pas : $[AB]=[BA]$). Les paires de sommets sont au nombre de $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$$

2) Les côtés. Les côtés sont les segments joignant deux sommets consécutifs. En parcourant le polygone $S_1{S}_2\cdots S_n{S}_1$, il y en a exactement $n$ (un par sommet, celui qui le relie au suivant, le dernier refermant le cycle).

3) Les diagonales. Ce sont tous les autres : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)-n=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\boxed{\frac{n(n-3)}{2}}$$

⚠️ Le point délicat : où sert la convexité ? Elle garantit que deux sommets non consécutifs sont joints par un segment intérieur au polygone — c'est-à-dire que la définition géométrique de « diagonale » coïncide avec la définition combinatoire « paire de sommets non consécutifs ». Pour un polygone croisé ou non convexe, le nombre reste $\frac{n(n-3)}{2}$, mais certaines de ces diagonales sortent du polygone. La convexité ne change pas le compte : elle rend l'énoncé géométriquement honnête.

⚠️ Second piège, arithmétique : la formule prédit $\frac{n(n-3)}{2}$, qui doit être un entier. C'est bien le cas, car $n$ et $n-3$ sont de parités opposées, donc leur produit est pair.

Contrôle. $n=3$ (triangle) : $\frac{3\times 0}{2}=0$ — un triangle n'a pas de diagonale ✓. $n=4$ (quadrilatère) : $\frac{4\times 1}{2}=2$, les deux diagonales du quadrilatère ✓. $n=5$ (pentagone) : $\frac{5\times 2}{2}=5$ — ce sont les cinq côtés du pentagramme inscrit ✓. $n=6$ : $\frac{6\times 3}{2}=9$, vérifié par énumération ✓.

Ce que l'exercice installe : le comptage par complémentaire, « tout moins ce qu'on ne veut pas ». C'est presque toujours plus court que de compter directement ce qu'on veut — le n° 7 (comités contenant au moins deux femmes) et le calcul des probabilités « au moins un » vivent du même principe.