De combien de façons n convives (discernables) peuvent-ils s'asseoir…

Stratégie : « fixer un repère » — ou, ce qui revient au même, compter les dispositions linéaires puis diviser par le nombre de rotations.

Première voie — on fixe un convive. Les places de la table sont indiscernables tant qu'on n'a asseoir personne. Asseyons donc le convive $C_1$ où l'on veut : à rotation près, toute disposition en admet une et une seule où $C_1$ occupe cette place. Une fois $C_1$ posé, les places sont repérées (« à gauche de $C_1$ », « en face », …) : les $n-1$ autres convives se répartissent sur les $n-1$ places restantes, librement. D'où $$\boxed{(n-1)!}$$

Seconde voie — compter puis diviser. Numérotons provisoirement les places de $1$ à $n$ : il y a $n!$ dispositions. Deux dispositions donnent la même disposition circulaire si et seulement si l'une se déduit de l'autre par l'une des $n$ rotations. Chaque classe a donc $n$ éléments, et il y a $\frac{n!}{n}=(n-1)!$ classes.

⚠️ Le point délicat : pourquoi les $n$ rotations d'une disposition sont-elles deux à deux distinctes ? Parce que les convives sont discernables : une rotation non triviale déplace $C_1$, donc change la disposition numérotée. Sans cette remarque, la division par $n$ n'est pas justifiée — et l'énoncé voisin des colliers, où l'on identifie aussi une disposition à son image miroir, le montre bien : là les classes n'ont pas toutes le même cardinal (certaines dispositions sont leur propre miroir), la division brutale par $2n$ est fausse, et il faut un outil plus fin.

Contrôle exhaustif. $n=4$ : la formule prédit $3!=6$. Le programme qui regroupe les $24$ permutations de $\{1,2,3,4\}$ par rotation trouve exactement $6$ classes ✓. $n=5$ : $4!=24$ classes parmi $120$ permutations ✓. $n=3$ : $2$ — et l'on voit bien les deux sens de rotation autour de la table.

Ce que l'exercice installe : quotienter par une symétrie. On compte l'objet « rigidifié », puis on divise par le nombre de symétries — après avoir vérifié qu'elles agissent sans point fixe. C'est la même mécanique qu'au n° 4 (permuter les lettres identiques) et qu'au n° 6 (permuter des paquets anonymes).