Des tiroirs à construire

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le principe des tiroirs, contraposée du théorème du cours : une application d'un ensemble de cardinal $n+1$ vers un ensemble de cardinal $n$ n'est pas injective — deux objets tombent dans le même tiroir. Le théorème ne fait aucun travail ; tout l'exercice est dans la fabrication de la partition, et les deux questions demandent deux partitions incompatibles.

a) Deux entiers premiers entre eux. Les tiroirs sont les $n$ paires d'entiers consécutifs $$\{1,2\},\{3,4\},\dots ,\{2n-1,2n\},$$ qui forment une partition de $\{1,\dots ,2n\}$. On y range les $n+1$ entiers choisis : par le principe des tiroirs, deux d'entre eux tombent dans la même paire, c'est-à-dire sont de la forme $m$ et $m+1$. Tout diviseur commun $d$ de $m$ et $m+1$ divise leur différence, qui vaut $1$ : $d=1$. Les deux entiers sont premiers entre eux.