mathématiques MPSI · Chapitre 18 · Exercice de TD

L'équipe et son capitaine

Dénombrement · D. Problèmes et doubles comptages · niveau 2

Énoncé

Soit $n \geq 1$ .

a) Démontrer combinatoirement $k = 0 \sum n k (k n) = n 2^{n - 1}$ .

b) Démontrer de même $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ pour $1 \leq k \leq n$ .

c) Calculer $k = 0 \sum n k (k - 1) (k n)$ en comptant les triplets (équipe, capitaine, vice-capitaine).

d) Retrouver les trois résultats en dérivant $(1 + x)^{n}$ . En déduire $k = 0 \sum n k^{2} (k n)$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Changer l'ordre des choix : l'équipe puis son capitaine, ou le capitaine puis le reste de l'équipe. Ce que la dérivation du binôme dit par le calcul, le comptage le dit sans calcul.

a) Équipe puis capitaine, ou l'inverse. Comptons les couples (équipe, capitaine), où l'équipe est une partie quelconque d'un ensemble de $n$ personnes et le capitaine un membre de l'équipe. Équipe d'abord : pour chaque taille $k$ , il y a $(k n)$ équipes, puis $k$ choix de capitaine ; en sommant sur $k$ , $k = 0 \sum n k (k n)$ couples — le terme $k = 0$ est nul, une équipe vide n'a pas de capitaine. Capitaine d'abord : $n$ choix pour le capitaine, puis chacune des $n - 1$ autres personnes est dans l'équipe ou non, soit $2^{n - 1}$ équipes contenant ce capitaine : $n 2^{n - 1}$ couples. Le même ensemble compté deux fois : $k = 0 \sum n k (k n) = n 2^{n - 1}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Démontrer de même $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ pour $1 \leq k \leq n$ .

Élève

Pour le b), je voudrais refaire le double comptage du a), mais les couples (équipe, capitaine) du a) donnent toute la somme, pas un terme isolé. Quel ensemble faut-il compter pour n'obtenir que $k (k n)$ ?

Regarde d'où vient le terme d'indice $k$ dans le comptage « équipe d'abord » du a) : à quelles équipes correspond-il ? Restreins l'ensemble des couples en conséquence.

Élève

Il correspond aux équipes de taille $k$ : je compte donc les couples (équipe à $k$ membres, capitaine), et l'équipe d'abord donne bien $k (k n)$ . Mais en choisissant le capitaine d'abord, je ne vois pas comment imposer la taille.

Une fois le capitaine choisi, l'équipe n'est pas encore déterminée : que reste-t-il exactement à choisir pour qu'elle ait $k$ membres, et parmi quelles personnes ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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