mathématiques MPSI · Chapitre 19 · Exercice de TD

Additionner deux binomiales sans rien calculer

Probabilités sur un univers fini · C. Lois, couples, indépendance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, de lois $B (n, p)$ et $B (m, p)$ — même paramètre $p$ .

a) Montrer sans calcul que $X + Y \sim B (n + m, p)$ .

b) Retrouver le résultat par le calcul, à l'aide de l'identité de Vandermonde $k \sum (k n) (j - k m) = (j n + m)$ .

c) Que devient l'énoncé si l'on retire l'hypothèse d'indépendance ? On examinera $Y = X$ (avec $m = n$ ), puis $Y = n - X$ (avec $m = n$ et $p = \frac{1}{2}$ ).

Corrigé de la question 1

La stratégie. Revenir à la définition concrète de la loi binomiale — le nombre de succès dans une répétition d'épreuves indépendantes — au lieu de calculer une somme de produits. C'est l'exercice où l'on gagne en refusant de calculer ; le b) montre ce que ce refus a épargné.

a) Sans calcul.

Premier point : ce que « $B (n, p)$ » veut dire. Le cours établit que si $A_{1}, \dots, A_{n}$ sont indépendantes de loi $B (p)$ , alors $A_{1} + \dots + A_{n} \sim B (n, p)$ . Une variable de loi $B (n, p)$ a donc la même loi qu'un nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes.

Deuxième point : la construction. Choisissons $n + m$ variables $A_{1}, \dots, A_{n + m}$ , indépendantes, de loi $B (p)$ , et posons $X^{'} = A_{1} + \dots + A_{n}, Y^{'} = A_{n + 1} + \dots + A_{n + m} .$ Alors $X^{'} \sim B (n, p)$ et $Y^{'} \sim B (m, p)$ . De plus $X^{'}$ et $Y^{'}$ sont indépendantes, par le lemme des coalitions : ce sont des fonctions de deux paquets disjoints de variables indépendantes.

Troisième point : les deux couples ont la même loi. La loi conjointe d'un couple de variables indépendantes est le produit des marginales. Pour tous $i, j$ : $P (X^{'} = i, Y^{'} = j) = P (X^{'} = i) P (Y^{'} = j) = P (X = i) P (Y = j) = P (X = i, Y = j),$ les marginales étant les mêmes de part et d'autre. Donc les couples $(X, Y)$ et $(X^{'}, Y^{'})$ ont la même loi.

Quatrième point : une fonction d'un couple. Le cours dit que si deux variables ont la même loi, leurs images par une même fonction ont la même loi : $X \sim Y \Rightarrow f (X) \sim f (Y)$ , et cela vaut pour les couples, qui sont des variables à valeurs dans un produit. Avec $f (x, y) = x + y$ : $X + Y$ a la même loi que $X^{'} + Y^{'} = A_{1} + \dots + A_{n + m}$ , qui suit $B (n + m, p)$ par le premier point. Donc $X + Y \sim B (n + m, p) .$ L'interprétation est la démonstration : faire $n$ épreuves puis $m$ épreuves indépendantes, c'est faire $n + m$ épreuves ; additionner les succès des deux paquets, c'est compter tous les succès.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Retrouver le résultat par le calcul, à l'aide de l'identité de Vandermonde $k \sum (k n) (j - k m) = (j n + m)$ .

Élève

Pour le b), j'écris $P (X + Y = j) = \sum_{k = 0}^{n} P (X = k) P (Y = j - k)$ par indépendance. Mais pour certains $k$ , $j - k$ sort de $[[0, m]]$ et $P (Y = j - k)$ n'a plus la forme binomiale. Est-ce que ça casse le calcul ?

Que vaut $P (Y = j - k)$ pour ces valeurs de $k$ , et que vaut $(j - k m)$ avec la convention usuelle quand $j - k$ est hors de $[[0, m]]$ ?

Élève

Les deux sont nuls, donc je peux garder l'expression binomiale sous la somme pour tous les $k$ , ce qui correspond bien à la somme de l'identité de Vandermonde. Il reste un produit de puissances de $p$ et de $1 - p$ assez lourd.

Dans chaque terme, additionne les exposants de $p$ , puis ceux de $1 - p$ : dépendent-ils encore de $k$ , et que reste-t-il alors sous le signe somme ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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