Additionner deux binomiales sans rien calculer

La stratégie. Revenir à la définition concrète de la loi binomiale — le nombre de succès dans une répétition d'épreuves indépendantes — au lieu de calculer une somme de produits. C'est l'exercice où l'on gagne en refusant de calculer ; le b) montre ce que ce refus a épargné.

a) Sans calcul.

Premier point : ce que « $\mathcal{B}(n,p)$ » veut dire. Le cours établit que si $A_1,\dots ,A_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$, alors $A_1+\cdots +A_n\sim \mathcal{B}(n,p)$. Une variable de loi $\mathcal{B}(n,p)$ a donc la même loi qu'un nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes.

Deuxième point : la construction. Choisissons $n+m$ variables $A_1,\dots ,A_{n+m}$, indépendantes, de loi $\mathcal{B}(p)$, et posons $$X^{\prime }=A_1+\cdots +A_n,Y^{\prime }=A_{n+1}+\cdots +A_{n+m}.$$ Alors $X^{\prime }\sim \mathcal{B}(n,p)$ et $Y^{\prime }\sim \mathcal{B}(m,p)$. De plus $X^{\prime }$ et $Y^{\prime }$ sont indépendantes, par le lemme des coalitions : ce sont des fonctions de deux paquets disjoints de variables indépendantes.

Troisième point : les deux couples ont la même loi. La loi conjointe d'un couple de variables indépendantes est le produit des marginales. Pour tous $i,j$ : $$P(X^{\prime }=i,Y^{\prime }=j)=P(X^{\prime }=i)P(Y^{\prime }=j)=P(X=i)P(Y=j)=P(X=i,Y=j),$$ les marginales étant les mêmes de part et d'autre. Donc les couples $(X,Y)$ et $(X^{\prime },Y^{\prime })$ ont la même loi.

Quatrième point : une fonction d'un couple. Le cours dit que si deux variables ont la même loi, leurs images par une même fonction ont la même loi : $X\sim Y\Rightarrow f(X)\sim f(Y)$, et cela vaut pour les couples, qui sont des variables à valeurs dans un produit. Avec $f(x,y)=x+y$ : $X+Y$ a la même loi que $X^{\prime }+Y^{\prime }=A_1+\cdots +A_{n+m}$, qui suit $\mathcal{B}(n+m,p)$ par le premier point. Donc $$X+Y\sim \mathcal{B}(n+m,p).$$ L'interprétation est la démonstration : faire $n$ épreuves puis $m$ épreuves indépendantes, c'est faire $n+m$ épreuves ; additionner les succès des deux paquets, c'est compter tous les succès.

b) Le calcul qu'on a évité. Par la formule des probabilités totales sur le système complet $((X=k){)}_k$ et l'indépendance, $$P(X+Y=j)=\sum _{k}P(X=k)P(Y=j-k)=\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j-k})p^{j-k}(1-p{)}^{m-j+k},$$ la somme portant sur les $k$ tels que $0\le k\le n$ et $0\le j-k\le m$. Les puissances se regroupent : chaque terme contient $p^j(1-p{)}^{n+m-j}$, indépendant de $k$. Donc $$P(X+Y=j)=p^j(1-p{)}^{n+m-j}\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{j})p^j(1-p{)}^{n+m-j},$$ par l'identité de Vandermonde du chapitre de dénombrement. On retrouve $\mathcal{B}(n+m,p)$ — au prix d'une identité combinatoire que le a) contenait implicitement : choisir $j$ succès parmi $n+m$ positions, c'est en choisir $k$ dans le premier paquet et $j-k$ dans le second.

Contrôle sur $n=m=1$. $X+Y$ prend les valeurs $0,1,2$ avec les probabilités $(1-p{)}^2$, $2p(1-p)$, $p^2$ : c'est bien $\mathcal{B}(2,p)$.

c) Sans indépendance, l'énoncé est faux.

Premier contre-exemple, $Y=X$. Alors $X+Y=2X$ ne prend que des valeurs paires, alors qu'une loi $\mathcal{B}(2n,p)$ charge toutes les valeurs de $0$ à $2n$, avec $P(X+Y=1)=0\ne 2np(1-p{)}^{2n-1}$.

Second contre-exemple, $Y=n-X$ avec $p=\frac{1}{2}$. La variable $n-X$ compte les échecs ; elle suit la loi $\mathcal{B}(n,1-p)=\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})$, la même que $X$. Pourtant $X+Y=n$ est constante : $P(X+Y=n)=1$, alors que $\mathcal{B}(2n,\frac{1}{2})$ donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)2^{-2n}<1$.

Dans les deux cas, $X$ et $Y$ ont bien les lois annoncées : ce sont les marginales, et elles ne déterminent pas la loi de la somme. Seule la loi conjointe la détermine, et c'est l'indépendance qui la fixe.

Le point délicat : on démontre une égalité de lois, pas une égalité de variables. $X+Y$ n'est pas $A_1+\cdots +A_{n+m}$ — ces variables peuvent vivre sur des univers différents. Elles ont la même loi, comme $X\sim \mathcal{U}(\{1,\dots ,6\})$ et $7-X$ ont la même loi sans jamais être égales.

Ce que l'exercice installe. Une loi binomiale se pense : c'est un nombre de succès. Le même réflexe donne en deux lignes $E(X)=\sum E(A_i)=np$ par linéarité, et $V(X)=\sum V(A_i)=np(1-p)$ par additivité des variances de variables indépendantes. Et la leçon de fond : pour connaître la loi d'une fonction de $(X,Y)$, on peut remplacer $(X,Y)$ par n'importe quel couple de même loi conjointe — choisi commode.