La chaîne de Markov météo

La stratégie. Le couple $(B_n,\overline{B_n})$ est un système complet d'événements : deux événements incompatibles dont la réunion est $\Omega$. On désagrège $B_{n+1}$ selon ces deux scénarios, ce qui produit une relation de récurrence ; puis on la résout comme une suite arithmético-géométrique, avec les outils du chapitre sur les suites.

a) La récurrence. La formule des probabilités totales donne $$p_{n+1}=P(B_{n+1})=P(B_{n+1}\mid B_n)P(B_n)+P(B_{n+1}\mid \overline{B_n})P(\overline{B_n}).$$ L'énoncé fournit $P(B_{n+1}\mid B_n)=0,9$ et $P(B_{n+1}\mid \overline{B_n})=0,5$, et $P(\overline{B_n})=1-p_n$. D'où $$p_{n+1}=0,9p_n+0,5(1-p_n)=0,4p_n+0,5.$$

Le point délicat : les probabilités conditionnelles n'ont de sens que si l'on conditionne par un événement de probabilité non nulle. Si $p_n$ valait $0$ ou $1$, l'un des deux conditionnements serait indéfini. Le programme lève la difficulté par une convention : $P(A\mid B)P(B)=0$ lorsque $P(B)=0$. La rédaction la plus sûre écrit la formule sous la forme $P(B_{n+1})=P(B_{n+1}\cap B_n)+P(B_{n+1}\cap \overline{B_n})$, qui est toujours vraie (additivité sur une partition), les données de l'énoncé se lisant alors $P(B_{n+1}\cap B_n)=0,9p_n$ et $P(B_{n+1}\cap \overline{B_n})=0,5(1-p_n)$.

b) La limite. Cherchons le point fixe $\ell$ de l'application $x\mapsto 0,4x+0,5$ : $$\ell =0,4\ell +0,5⟺0,6\ell =0,5⟺\ell =\frac{5}{6}.$$ En retranchant membre à membre les deux égalités $p_{n+1}=0,4p_n+0,5$ et $\ell =0,4\ell +0,5$, on obtient $p_{n+1}-\ell =0,4(p_n-\ell )$ : la suite $(p_n-\ell )$ est géométrique de raison $0,4$, donc $$p_n-\frac{5}{6}=0,4^n\left(p_0-\frac{5}{6}\right)\text{pour tout }n\ge 0.$$ Comme $|0,4|<1$, $0,4^n\to 0$, et $p_n\to \frac{5}{6}\approx 0,8333$.

Non, la limite ne dépend pas d'aujourd'hui. La valeur $\frac{5}{6}$ ne fait pas intervenir $p_0$ : que l'on parte de $p_0=1$ (il fait beau) ou de $p_0=0$ (il fait mauvais), la suite tend vers la même valeur. Seule la vitesse d'approche dépend de $p_0$, par le facteur $|p_0-\frac{5}{6}|$.

Contrôle numérique. Partons de $p_0=1$ : $p_1=0,9$, $p_2=0,4\times 0,9+0,5=0,86$, $p_3=0,4\times 0,86+0,5=0,844$. La formule close prédit $p_3=\frac{5}{6}+0,4^3\times \frac{1}{6}=0,83333+0,064\times 0,16667=0,84400$. Partons de $p_0=0$ : $p_1=0,5$, $p_2=0,7$, $p_3=0,78$, et la formule donne $\frac{5}{6}-0,064\times \frac{5}{6}=0,83333-0,05333=0,78000$. Les deux trajectoires, parties des deux extrêmes, se rejoignent.

c) La probabilité invariante, et la vitesse d'oubli. Si $p_0=\frac{5}{6}$, alors $p_n=\frac{5}{6}$ pour tout $n$ : la valeur $\frac{5}{6}$ est la probabilité invariante de la chaîne, l'état stationnaire. Elle a une lecture concrète : sur le long terme, il fait beau cinq jours sur six.

Pour la vitesse : comme $p_0\in [0,1]$, on a $|p_0-\frac{5}{6}|\le \frac{5}{6}$, donc $|p_n-\ell |\le \frac{5}{6}\times 0,4^n$ quel que soit $p_0$. Or $0,4^7=0,0016384$ et $\frac{5}{6}\times 0,0016384\approx 0,00137>10^{-3}$, tandis que $0,4^8=0,00065536$ et $\frac{5}{6}\times 0,00065536\approx 0,000546<10^{-3}$. Dès le huitième jour, la probabilité de beau temps est à moins d'un millième de $\frac{5}{6}$, quelle qu'ait été la météo du départ : le système a oublié sa condition initiale, à vitesse géométrique.

Ce que l'exercice installe. La formule des probabilités totales engendre une récurrence : c'est ainsi que le calcul des probabilités rejoint celui des suites. La relation s'écrit aussi $(p_{n+1},1-p_{n+1})=(p_n,1-p_n)M$ avec $M=\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,1\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)$ — l'itération matricielle du chapitre sur les matrices, écrite sur une coordonnée. L'existence d'un état limite indépendant du départ est le phénomène central des chaînes de Markov, qu'on étudiera en seconde année avec les puissances de $M$ : la raison $0,4$ qui gouverne l'oubli en est la seconde valeur propre.