La loi conditionnelle d'une binomiale

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi conditionnelle de $X$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle est la distribution $(P(X=k\mid A){)}_k$, où $P(X=k\mid A)=\frac{P((X=k)\cap A)}{P(A)}$. Le mot du cours est « loi conditionnelle » ; l'espérance de cette loi est ce qu'on note ici $E(X\mid A)$. Et la loi binomiale : $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ (le coefficient se lit « $k$ parmi $n$ »), avec $E(X)=np$.

a) Conditionner, c'est renormaliser. L'événement $(X\ge 1)$ est le contraire de $(X=0)$, donc $P(X\ge 1)=1-(1-p{)}^n$, qui est strictement positif puisque $0<p<1$. Pour $k\ge 1$, l'événement $(X=k)$ est inclus dans $(X\ge 1)$, donc $(X=k)\cap (X\ge 1)=(X=k)$ et $$P(X=k\mid X\ge 1)=\frac{P(X=k)}{1-(1-p{)}^n}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}}{1-(1-p{)}^n}(1\le k\le n),$$ tandis que $P(X=0\mid X\ge 1)=0$. Ces nombres sont positifs, et leur somme vaut $$\sum _{k=1}^n\frac{P(X=k)}{1-(1-p{)}^n}=\frac{P(X\ge 1)}{1-(1-p{)}^n}=1.$$ C'est bien une distribution de probabilités : on a retiré la masse du point $0$, et divisé le reste par ce qui restait pour que le total revienne à $1$.

b) L'espérance de la loi conditionnelle. Par définition de l'espérance d'une loi, $$E(X\mid X\ge 1)=\sum _{k=1}^{n}kP(X=k\mid X\ge 1)=\frac{1}{1-(1-p{)}^n}\sum _{k=1}^{n}kP(X=k)=\frac{1}{1-(1-p{)}^n}\sum _{k=0}^{n}kP(X=k),$$ la dernière égalité parce que le terme $k=0$ est nul. La somme est $E(X)=np$. Donc $$E(X\mid X\ge 1)=\frac{np}{1-(1-p{)}^n}.$$ Comparaison. Le dénominateur est dans $]0,1[$, donc $E(X\mid X\ge 1)>np=E(X)$ : savoir qu'il y a eu au moins un succès augmente le nombre moyen de succès, ce qui est raisonnable.

Limites. Quand $p\to 1$, $(1-p{)}^n\to 0$ et $E(X\mid X\ge 1)\to n$ : si les succès sont presque certains, on en a presque $n$. Quand $p\to 0$, numérateur et dénominateur tendent vers $0$ ; on utilise $(1-p{)}^n=1-np+o(p)$ (développement limité à l'ordre $1$), d'où $1-(1-p{)}^n=np+o(p)$ et $E(X\mid X\ge 1)=\frac{np}{np+o(p)}\to 1$. Interprétation : si les succès sont rares mais qu'on sait qu'il y en a eu au moins un, il y en a eu, presque sûrement, exactement un.

Contrôle sur $n=2$, $p=\frac{1}{2}$. $P(X\ge 1)=\frac{3}{4}$ ; loi conditionnelle : $P(X=1\mid X\ge 1)=\frac{1/2}{3/4}=\frac{2}{3}$, $P(X=2\mid X\ge 1)=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$ ; espérance $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. La formule donne $\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$.

c) Sachant le nombre de succès, le paramètre a disparu. Fixons $k\in \{1,\dots ,n\}$ ; $P(X=k)>0$. La variable $X_1$ est à valeurs dans $\{0,1\}$, il suffit de calculer $P(X_1=1\mid X=k)$. Notons $Y=X_2+\cdots +X_n$ : par le théorème sur les sommes de Bernoulli indépendantes, $Y\sim \mathcal{B}(n-1,p)$, et par le lemme des coalitions, $X_1$ et $Y$ sont indépendantes (fonctions de paquets disjoints de variables indépendantes). L'événement $(X_1=1)\cap (X=k)$ est exactement $(X_1=1)\cap (Y=k-1)$. Donc $$P(X_1=1,X=k)=P(X_1=1)P(Y=k-1)=p\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)p^{k-1}(1-p{)}^{n-k}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})p^k(1-p{)}^{n-k},$$ et $$P(X_1=1\mid X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}.$$ Les puissances de $p$ et de $1-p$ se sont simplifiées. Reste un quotient de coefficients binomiaux : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, d'où $$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}=\frac{(n-1)!k!}{(k-1)!n!}=\frac{k}{n}.$$ La loi conditionnelle de $X_1$ sachant $(X=k)$ est la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{k}{n}$, et $p$ n'y figure plus. Vérification sur $n=2$, $k=1$ : $P(X_1=1\mid X=1)=\frac{P(X_1=1,X_2=0)}{P(X=1)}=\frac{p(1-p)}{2p(1-p)}=\frac{1}{2}=\frac{k}{n}$.

Interprétation. Sachant qu'il y a eu $k$ succès en $n$ épreuves, chaque position a la même probabilité $\frac{k}{n}$ d'être un succès, comme si les $k$ succès avaient été placés uniformément parmi les $n$ positions ; toute l'information que porte $p$ est déjà contenue dans le nombre de succès — c'est pourquoi la fréquence $\frac{X}{n}$ est l'estimateur naturel de $p$.

Le point délicat. Dans le c), l'indépendance de $X_1$ et de $Y=X_2+\cdots +X_n$ n'est pas une évidence à décréter : c'est le lemme des coalitions qui la fournit, parce que $Y$ est une fonction des seules variables $X_2,\dots ,X_n$. Sans lui, la factorisation $P(X_1=1,Y=k-1)=P(X_1=1)P(Y=k-1)$ n'aurait aucune justification.

Ce que l'exercice installe. Une loi conditionnelle est une loi : elle a une distribution, une espérance, et elle s'obtient en renormalisant la loi initiale sur l'événement observé. Et le c) est un premier exemple d'une idée qui reviendra en seconde année sous le nom d'espérance conditionnelle : ce que l'on sait de $X_1$ une fois connu $X$.