Le collectionneur (version espérance). On lance n fois un dé…

Stratégie : décomposer $N$ en somme d'indicatrices, puis linéarité de l'espérance. C'est la méthode la plus rentable de tout le chapitre : elle contourne complètement la loi de $N$, que personne ne sait écrire simplement.

1) La décomposition. Pour $i\in \{1,\dots ,6\}$, soit $$A_i=\left(\text{la face }i\text{ apparaıˆt au moins une fois au cours des }n\text{ lancers}\right)$$ et $1_{A_i}$ son indicatrice. Chaque face distincte apparue contribue pour $1$ au compte, donc $$N=\sum _{i=1}^6{1}_{A_i}$$

2) La linéarité. L'espérance est linéaire, et $E\left(1_A\right)=P(A)$ : $$E(N)=\sum _{i=1}^{6}P(A_i)$$

3) Chaque $P(A_i)$, par complémentaire. L'événement $\overline{A_i}$ = « la face $i$ n'apparaît jamais » signifie que chacun des $n$ lancers évite $i$. Les lancers étant indépendants, chacun évitant $i$ avec probabilité $\frac{5}{6}$ : $$P(\overline{A_i})={\left(\frac{5}{6}\right)}^n,P(A_i)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$$ Les six faces jouant le même rôle, il vient $$\boxed{E(N)=6\left(1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n\right)}$$

⚠️ Le point délicat, et c'est LA leçon : les $A_i$ ne sont PAS indépendants. Par exemple, pour $n=5$, si les faces $1,2,3,4,5$ sont toutes apparues, alors la face $6$ n'est certainement pas apparue : $P(A_6\mid A_1\cap \cdots \cap A_5)=0$, très loin de $P(A_6)$. Cela n'a aucune importance : la linéarité de l'espérance $E(\sum )=\sum E$ ne demande aucune hypothèse d'indépendance. C'est ce qui fait la puissance de la méthode. L'indépendance n'a servi qu'à l'étape 3, entre les lancers — pas entre les $A_i$.

⚠️ En revanche, $V(N)\ne \sum V(1_{A_i})$ : le calcul de la variance, lui, exigerait les covariances des $A_i$, qui ne sont pas nulles.

Contrôle.

• $n=1$ : la formule donne $6\left(1-\frac{5}{6}\right)=1$ — un seul lancer, une seule face ✓.
• $n=2$ : $6\left(1-\frac{25}{36}\right)=\frac{66}{36}=\frac{11}{6}\approx 1,8333$. À la main : $N=1$ si les deux lancers coïncident (probabilité $\frac{1}{6}$), $N=2$ sinon ; d'où $E(N)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{5}{6}=\frac{11}{6}$ ✓.
• $n=6$ : la formule donne $\frac{31031}{7776}=3,99061$ ; une simulation de $200000$ parties donne $3,98917$ ✓.
• $n\to +\infty$ : $E(N)\to 6$, ce qui est bien le maximum ✓.

Ce que l'exercice installe : écrire toute variable de comptage comme une somme d'indicatrices. Même geste pour le nombre de points fixes d'une permutation (n° 10), pour le nombre d'arêtes d'un graphe aléatoire, ou pour le nombre de records d'une suite. À chaque fois, la linéarité dispense de connaître la loi.