Le maximum de $n$ dés

La stratégie. Ne pas chercher directement $P(M=k)$, qui est un événement compliqué (« l'un des dés vaut $k$ et aucun ne dépasse $k$ »), mais $P(M\le k)$, qui est une intersection d'événements indépendants. La loi s'en déduit par différence, et l'espérance se lit directement sur ces probabilités cumulées, sans passer par la loi.

1) Le maximum est majoré si et seulement si tous le sont. Dire que le plus grand des $n$ résultats est au plus $k$, c'est dire que chacun l'est : $$(M\le k)=\bigcap _{i=1}^n(X_i\le k).$$ Les $X_i$ sont mutuellement indépendantes (c'est l'hypothèse du modèle : un $n$-uplet de variables indépendantes), donc les événements $(X_i\le k)$ le sont, et la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. Chaque dé étant équilibré, $P(X_i\le k)=\frac{k}{6}$. D'où $$P(M\le k)=\prod _{i=1}^n\frac{k}{6}={\left(\frac{k}{6}\right)}^n.$$

2) La loi par différence. Pour $k\in \{1,\dots ,6\}$, l'événement $(M\le k)$ est la réunion disjointe de $(M\le k-1)$ et de $(M=k)$, donc $$P(M=k)=P(M\le k)-P(M\le k-1)=\frac{k^n-(k-1{)}^n}{6^n},$$ avec la convention $P(M\le 0)=0$, cohérente avec la formule puisque $0^n=0$ pour $n\ge 1$. La somme de ces six nombres est télescopique : $$\sum _{k=1}^6\frac{k^n-(k-1{)}^n}{6^n}=\frac{6^n-0^n}{6^n}=1.$$ En particulier $P(M=6)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n$, qui tend vers $1$ : avec beaucoup de dés, on est presque sûr d'obtenir au moins un six — l'événement contraire, « aucun six », a pour probabilité ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n\to 0$.

3) Le minimum, par le même geste. Dire que le plus petit résultat est au moins $k$, c'est dire que chacun l'est : $(m\ge k)={\bigcap }_i(X_i\ge k)$, et $P(X_i\ge k)=\frac{7-k}{6}$ (les valeurs $k,k+1,\dots ,6$, au nombre de $7-k$). Donc $P(m\ge k)={\left(\frac{7-k}{6}\right)}^n$, et par différence $$P(m=k)=P(m\ge k)-P(m\ge k+1)=\frac{(7-k{)}^n-(6-k{)}^n}{6^n}(1\le k\le 6).$$ Lecture par symétrie. L'application $x\mapsto 7-x$ est une bijection de $\{1,\dots ,6\}$ qui conserve la loi uniforme ; le $n$-uplet $(7-X_1,\dots ,7-X_n)$ a donc la même loi que $(X_1,\dots ,X_n)$, et $\max (7-X_i)=7-\min (X_i)$. Ainsi $7-m$ a la même loi que $M$, ce que les deux formules confirment : $P(m=k)=P(M=7-k)$.

4) Une variable entière est la somme de ses indicatrices de queue. Fixons $\omega \in \Omega$ et posons $j=X(\omega )\in \{0,\dots ,N\}$. Pour $k\in \{1,\dots ,N\}$, l'indicatrice $1_{(X\ge k)}(\omega )$ vaut $1$ si $k\le j$ et $0$ sinon. La somme ${\sum }_{k=1}^N{1}_{(X\ge k)}(\omega )$ compte donc les entiers $k$ de $\{1,\dots ,N\}$ tels que $k\le j$ : comme $j\le N$, il y en a exactement $j$. Donc $$\sum _{k=1}^N{1}_{(X\ge k)}(\omega )=j=X(\omega )\text{pour tout }\omega ,$$ ce qui est l'égalité annoncée entre variables aléatoires. On prend l'espérance : par linéarité, et parce que $E(1_A)=P(A)$, $$E(X)=\sum _{k=1}^{N}P(X\ge k).$$

5) L'espérance du maximum. $M$ est à valeurs dans $\{1,\dots ,6\}\subset \{0,\dots ,6\}$ ; on applique le 4) avec $N=6$. Or $P(M\ge k)=1-P(M\le k-1)=1-{\left(\frac{k-1}{6}\right)}^n$. Donc $$E(M)=\sum _{k=1}^6\left(1-{\left(\frac{k-1}{6}\right)}^n\right)=6-\sum _{j=0}^5{\left(\frac{j}{6}\right)}^n,$$ en posant $j=k-1$. Chaque terme ${\left(\frac{j}{6}\right)}^n$ avec $j\le 5$ tend vers $0$ : $E(M)\to 6$ quand $n\to +\infty$.

Pour $n=1$ : $E(M)=6-\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=6-\frac{15}{6}=3,5$ — c'est l'espérance d'un dé, comme il se doit.

Pour $n=2$ : $E(M)=6-\frac{0+1+4+9+16+25}{36}=6-\frac{55}{36}=\frac{161}{36}\approx 4,47$.

Contrôle direct pour $n=2$. La loi donne $P(M=k)=\frac{k^2-(k-1{)}^2}{36}=\frac{2k-1}{36}$, et $$E(M)=\frac{1\times 1+2\times 3+3\times 5+4\times 7+5\times 9+6\times 11}{36}=\frac{1+6+15+28+45+66}{36}=\frac{161}{36}.$$ Et par la symétrie du 3), $E(m)=7-E(M)=\frac{91}{36}\approx 2,53$ pour deux dés.

Le point délicat. L'identité du 4) est une égalité de fonctions sur $\Omega$, vérifiée point par point ; c'est seulement ensuite qu'on prend l'espérance. Et la linéarité ne demande aucune indépendance entre les événements $(X\ge k)$ — qui, d'ailleurs, sont emboîtés, donc très dépendants.

Ce que l'exercice installe. Deux idées. La première : une loi se décrit aussi bien par ses queues $P(X\le k)$ ou $P(X\ge k)$ que par ses valeurs ponctuelles ; pour un maximum ou un minimum de variables indépendantes, ce sont les queues qui se factorisent. C'est la fonction de répartition, qui deviendra en seconde année l'outil central des variables à valeurs réelles. La seconde : l'espérance d'une variable entière est la somme de ses probabilités de queue — une formule qui évite la loi, et qu'on retrouvera pour les variables géométriques.