Le paradoxe des anniversaires. Dans un groupe de k personnes, montrer…

Stratégie : passer au complémentaire. « Deux au moins » recouvre une foule de configurations (une paire, deux paires, un triplet…) qu'on ne saurait compter sans se tromper ; son contraire, lui, est une seule condition.

1) Le modèle. On néglige le $29$ février et l'on suppose les $365$ jours équiprobables et les anniversaires indépendants. L'univers est $$\Omega =\{1,\dots ,365{\}}^k,\mathrm{card}\Omega =365^k$$ muni de la probabilité uniforme : une issue est la liste des $k$ anniversaires, dans l'ordre des personnes.

2) Le complémentaire. Soit $A_k$ = « deux personnes au moins partagent un anniversaire ». Alors $$\overline{A_k}=\left(\text{les }k\text{ anniversaires sont deux aˋ deux distincts}\right)$$ c'est-à-dire l'ensemble des $k$-listes injectives d'éléments de $\{1,\dots ,365\}$ — les arrangements du chapitre 18. Il y en a $$365\times 364\times \cdots \times (365-k+1)=\frac{365!}{(365-k)!}$$ (on choisit l'anniversaire de la première personne : $365$ possibilités ; celui de la deuxième, distinct : $364$ ; etc.). D'où $$\boxed{p_k=P(A_k)=1-\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-k+1)}{365^k}}$$

⚠️ Le point délicat : ne pas confondre l'ordre. Au numérateur comme au dénominateur, on compte des listes ordonnées (personne $1$, personne $2$, …). Compter des ensembles d'anniversaires en haut et des listes en bas donnerait un résultat faux : les deux comptages doivent porter sur le même univers.

3) Les valeurs. $$p_{10}=0,1169p_{22}=0,4757p_{23}=0,5073p_{30}=0,7063p_{50}=0,9704p_{57}=0,9901$$ Le seuil $\frac{1}{2}$ est franchi exactement entre $k=22$ et $k=23$ ✓.

4) Pourquoi ce n'est pas un paradoxe. L'intuition compare $k=23$ à $365$ et trouve le résultat absurde. Mais l'événement ne porte pas sur les personnes : il porte sur les paires de personnes, et il y en a $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2}\right)=253$$ soit un nombre du même ordre que $365$. Chaque paire coïncide avec probabilité $\frac{1}{365}$, et une approximation classique donne $$p_k\approx 1-\exp \left(-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)}{365}\right)$$ Pour $k=23$ : $\frac{253}{365}=0,69315$, et — coïncidence remarquable — $\ln 2=0,69315$. L'approximation vaut donc $1-e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$, contre $0,5073$ pour la valeur exacte ✓. C'est le nombre de paires qui croît comme $k^2$, et c'est là toute l'affaire.

Contrôle aux bords. $k=1$ : $p_1=1-\frac{365}{365}=0$ ✓. $k=366$ : le produit du numérateur contient le facteur $365-366+1=0$, donc $p_{366}=1$ — on retrouve le principe des tiroirs du chapitre 18 ✓.

Ce que l'exercice installe : le réflexe du complémentaire pour tout événement du type « au moins un ». Et une leçon d'humilité : l'intuition probabiliste se trompe sur les ordres de grandeur ; seul le calcul tranche.