Monty Hall : modéliser l'information

La stratégie. Le paradoxe de Monty Hall n'est pas un paradoxe de calcul : c'est un paradoxe de modélisation. Tout repose sur ce que sait l'animateur et sur ce qu'il fait de ce qu'il sait. On construit donc un modèle où l'univers porte deux variables : la porte de la voiture, et la porte ouverte par l'animateur.

a) Le modèle informé. Numérotons les portes $1,2,3$. Par symétrie, on peut supposer que le joueur choisit la porte $1$. Soit $V$ la porte de la voiture : $V$ suit la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$, donc $P(V=i)=\frac{1}{3}$. L'animateur ouvre une porte $H$ qui n'est ni la porte du joueur, ni la porte de la voiture. Trois cas, selon un système complet d'événements $((V=1),(V=2),(V=3))$ :

• Si $V=1$, le joueur a déjà la voiture. L'animateur a le choix entre les portes $2$ et $3$, toutes deux perdantes ; disons qu'il ouvre l'une ou l'autre avec probabilité $\frac{1}{2}$ — on verra que cette convention ne change rien. En changeant, le joueur perd : $P(\text{gagner en changeant}\mid V=1)=0$.
• Si $V=2$, l'animateur ne peut ouvrir ni la porte $1$ (celle du joueur), ni la porte $2$ (la voiture) : il est contraint d'ouvrir la porte $3$. En changeant, le joueur prend la porte $2$ et gagne : $P(\text{gagner en changeant}\mid V=2)=1$.
• Si $V=3$, symétriquement, l'animateur ouvre la porte $2$, et le joueur, en changeant, gagne.

La formule des probabilités totales donne $$P(\text{gagner en changeant})=\frac{1}{3}\times 0+\frac{1}{3}\times 1+\frac{1}{3}\times 1=\frac{2}{3},$$ et donc $P(\text{gagner en gardant})=\frac{1}{3}$. Lecture en une phrase : changer gagne si et seulement si le premier choix était mauvais, ce qui arrive avec probabilité $\frac{2}{3}$.

b) Bayes, et où pèche le $\frac{1}{2}$. Calculons $P(H=3)$ par les probabilités totales, avec la convention du a) : $P(H=3\mid V=1)=\frac{1}{2}$, $P(H=3\mid V=2)=1$, $P(H=3\mid V=3)=0$. Donc $$P(H=3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}.$$ La formule de Bayes renverse le conditionnement : $$P(V=2\mid H=3)=\frac{P(H=3\mid V=2)P(V=2)}{P(H=3)}=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3},P(V=1\mid H=3)=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.$$ Sachant que l'animateur a ouvert la porte $3$, la voiture est derrière la porte $2$ avec probabilité $\frac{2}{3}$ : changer est la bonne stratégie, et l'on retrouve le a) conditionnellement à l'observation.

La convention ne change rien. Si, dans le cas $V=1$, l'animateur ouvrait la porte $3$ avec une probabilité $q$ quelconque, on aurait $P(H=3)=\frac{q+1}{3}$ et $P(V=2\mid H=3)=\frac{1}{1+q}\ge \frac{1}{2}$ : changer n'est jamais perdant, et le gain inconditionnel reste $\frac{2}{3}$ par l'argument du a), qui n'a pas utilisé $q$.

Où pèche le raisonnement à $\frac{1}{2}$. Il suppose que les deux portes restant fermées sont « également probables ». Mais l'animateur n'ouvre pas au hasard : dans les cas $V=2$ et $V=3$, soit une probabilité $\frac{2}{3}$ à eux deux, son geste est forcé par la position de la voiture, et il transmet de l'information. C'est exactement ce que Bayes mesure : $P(H=3\mid V=2)=1$ contre $P(H=3\mid V=1)=\frac{1}{2}$, et ce rapport $2$ est le rapport des probabilités finales $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{3}$.

c) Le modèle ignorant. L'animateur ouvre au hasard l'une des portes $2$ ou $3$ : $H$ est uniforme sur $\{2,3\}$ et indépendante de $V$. On observe l'événement $E=(H=3)\cap (V\ne 3)$ : la porte $3$ a été ouverte et cachait une chèvre. Par indépendance, $$P(E)=P(H=3)P(V\ne 3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3},P((V=2)\cap E)=P(V=2)P(H=3)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6},$$ d'où $$P(V=2\mid E)=\frac{1/6}{1/3}=\frac{1}{2},\text{et de meˆme }P(V=1\mid E)=\frac{1}{2}.$$ Dans ce modèle, changer ne sert à rien. Et c'est cohérent : l'animateur ignorant ne transmet aucune information sur $V$, puisque son geste ne dépend pas de $V$. La différence avec le a) tient tout entière à un mot de l'énoncé : « qui sait où est la voiture ».

Contrôle par simulation. Sur deux cent mille parties du jeu informé, le gain en changeant est observé dans une proportion $0,6661$, contre $\frac{2}{3}\approx 0,6667$ ; dans le jeu ignorant, parmi les parties où la porte ouverte cachait une chèvre, $0,4999$ contre $\frac{1}{2}$.

Ce que l'exercice installe. En probabilités, l'énoncé ne suffit jamais : il faut décider ce que contient l'univers, et en particulier ce que savent les acteurs. Deux modèles raisonnables donnent ici deux réponses différentes, $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{2}$, et seule la lecture attentive de l'énoncé tranche. La formule de Bayes est l'outil qui fait remonter de l'observation (la porte ouverte) vers la cause (la position de la voiture).