Soit X ∼ U({-1, 0, 1}) et Y = X². Montrer que Cov(X, Y) = 0 alors que…

Stratégie : un contre-exemple minimal. Trois valeurs suffisent à séparer deux notions qu'on confond volontiers.

1) Les lois. $X$ prend les valeurs $-1,0,1$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ chacune. Comme $Y=X^2$ : $$Y=0⟺X=0(\text{probabiliteˊ }\frac{1}{3}),Y=1⟺X\in \{-1,1\}(\text{probabiliteˊ }\frac{2}{3})$$ La loi conjointe tient en trois cases : $$P(X=-1,Y=1)=\frac{1}{3},P(X=0,Y=0)=\frac{1}{3},P(X=1,Y=1)=\frac{1}{3}$$ (toutes les autres cases sont nulles).

2) La covariance est nulle. Par symétrie de la loi de $X$, $$E(X)=\frac{-1+0+1}{3}=0$$ et, par le théorème de transfert, $$E(XY)=E(X^3)=\frac{(-1{)}^3+0^3+1^3}{3}=0$$ D'où $$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0\times \frac{2}{3}=0$$ Les variables $X$ et $Y$ sont donc décorrélées.

3) Elles ne sont pourtant pas indépendantes. Il suffit d'exhiber une case en défaut : $$P(X=1,Y=0)=P(X=1\text{ et }{X}^2=0)=P(\varnothing )=0$$ tandis que $$P(X=1)P(Y=0)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\ne 0$$ Un second témoin : $P(X=-1,Y=1)=\frac{1}{3}$ alors que $P(X=-1)P(Y=1)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$.

⚠️ Le point délicat, et il est spectaculaire : $Y$ est une FONCTION de $X$. La dépendance est totale, déterministe — connaître $X$, c'est connaître $Y$ — et la covariance ne la voit pas. La raison : la covariance ne mesure que la dépendance affine. Ici le lien est quadratique, donc pair, et les contributions de $X=-1$ et $X=+1$ se compensent exactement. Changer la loi de $X$ pour la rendre non symétrique ferait aussitôt réapparaître une covariance non nulle.

⚠️ L'implication réciproque, elle, est vraie : si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$, donc $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$. On a donc une implication strictement plus faible dans un sens.

Contrôle. Vérification directe sur la table conjointe : $E(XY)=(-1)(1)\frac{1}{3}+(0)(0)\frac{1}{3}+(1)(1)\frac{1}{3}=0$ ✓ ; $E(Y)=0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$ ✓ ; $E(X)=0$ ✓. Et la somme des trois cases vaut $1$ : la loi conjointe est bien une loi ✓.

Ce que l'exercice installe : pour établir une indépendance, il faut la loi conjointe — la covariance ne suffira jamais. Pour établir une non-indépendance, une seule case en défaut suffit. Et le coefficient de corrélation $\rho$ du n° 13 ne mesurera, lui aussi, que l'alignement affine.