mathématiques MPSI · Chapitre 2 · Application directe du cours

Calcul de cos(π/12) et tan(π/12)

Calcul algébrique et trigonométrie · H. Formules d'addition, duplication et linéarisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Calculer la valeur exacte de $cos \frac{π}{12}$ et de $tan \frac{π}{12}$ .

Corrigé

Écrivons $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ et appliquons la formule d'addition : $cos \frac{π}{12} = cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} + sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 + 6}{4} .$ Pour la tangente, par la formule d'addition de $tan$ : $tan \frac{π}{12} = \frac{tan \frac{π}{3} - tan \frac{π}{4}}{1 + tan \frac{π}{3} tan \frac{π}{4}} = \frac{3 - 1}{1 + 3} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3 .$

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