Exercices corrigés — Calcul algébrique et trigonométrie (mathématiques MPSI)

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Manipulation des sommes et des produits

• Calcul par télescopage Exercice classique
• Décaler pour soustraire : $\sum k{2}^k$, puis $\sum k{x}^k$ Exercice de TD
• Télescopage. Calculer Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)) et Σₖ₌₁ⁿ ln (1 + 1/k ). Application directe du cours
• Télescopage, deuxième temps. Calculer Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+2)). On pourra… Application directe du cours

B. Sommes de référence, $a^n-b^n$ et sommes doubles

• Trois sommes doubles, trois domaines Exercice de TD
• Problème — Identité de Lagrange, inégalités de Cauchy–Schwarz et de Minkowski Exercice de TD
• Montrer que Σₖ₌₁ⁿ k³ = (Σₖ₌₁ⁿ k )² = (n²(n+1)²)/4. ⚠️ L'égalité entre… Application directe du cours

C. Coefficients binomiaux et formule du binôme

• La crosse de hockey : la relation de Pascal est un télescopage Exercice de TD
• Sommes combinatoires Application directe du cours
• Montrer que Σₖ₌₀ⁿ C(k parmi n)² = C(n parmi 2n). Application directe du cours

D. Systèmes linéaires et algorithme du pivot

• Un système à paramètre : les valeurs qui annulent un pivot Exercice de TD
• Montrer qu'un système homogène de p équations à n inconnues avec n > p… Exercice classique
• Système linéaire par le pivot Application directe du cours

E. Inégalités, valeur absolue, parties bornées

• Les paquets d'Oresme : $H_n$ n'est pas majorée Exercice de TD
• L'inégalité à $\epsilon$ près Exercice de TD
• Inéquation avec valeur absolue Application directe du cours

F. Partie entière

• L'identité de Hermite Exercice de TD

G. Trigonométrie : cercle, angles associés, équations

• Le paramétrage du cercle par $t=\tan \frac{x}{2}$ Exercice de TD
• Résoudre dans ℝ, puis sur [0, 2π[ : cos x = 1/2, sin x = -√2/2, tan x… Application directe du cours
• Résoudre sin (2x) = sin (x). Application directe du cours
• Équation trigonométrique Application directe du cours

H. Formules d'addition, duplication et linéarisation

• Le cosinus d'un cinquième de $\pi$ Exercice de TD
• Linéarisation trigonométrique Application directe du cours
• Calcul de cos(π/12) et tan(π/12) Application directe du cours

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