Les paquets d'Oresme : $H_n$ n'est pas majorée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une seule technique, celle du cours : pour majorer ou minorer une somme, on encadre chaque terme par le plus grand ou le plus petit, et l'on compte les termes. Puis la définition d'une partie majorée, et l'existence de la partie entière d'un réel.

a) L'encadrement d'un paquet. La somme $\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ comporte $2n-(n+1)+1=n$ termes. Pour $n+1\le k\le 2n$, la fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs, $$\frac{1}{2n}\le \frac{1}{k}\le \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}.$$ En sommant ces $n$ encadrements : $$n\cdot \frac{1}{2n}\le \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\le n\cdot \frac{1}{n},\text{c’est-aˋ-dire}\frac{1}{2}\le \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\le 1.$$ Le minorant $\frac{1}{2}$ ne dépend pas de $n$ : voilà le point. Le paquet de $n$ termes qui suit le $n$-ième pèse toujours au moins un demi, aussi loin qu'on aille.

b) Les paquets dyadiques. Découpons $H_{2^n}$ en paquets de longueur $1,2,4,\dots ,2^{n-1}$ : $$H_{2^n}=1+\sum _{j=1}^n\left(\sum _{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\frac{1}{k}\right).$$ Le $j$-ième paquet est exactement la somme du a) pour $n$ remplacé par $2^{j-1}$ : il est minoré par $\frac{1}{2}$. Il y a $n$ paquets, donc $$H_{2^n}\ge 1+n\cdot \frac{1}{2}=1+\frac{n}{2}.$$ c) Aucun majorant. Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe un réel $M$ tel que $H_n\le M$ pour tout $n\ge 1$. Choisissons un entier $n\ge 0$ tel que $1+\frac{n}{2}>M$, c'est-à-dire $n>2(M-1)$ : l'entier $n=\lfloor 2(M-1)\rfloor +1$ convient si $2(M-1)\ge 0$, et $n=0$ sinon — c'est l'existence de la partie entière qui garantit qu'un réel est toujours dépassé par un entier. Alors, par le b), $H_{2^n}\ge 1+\frac{n}{2}>M$, ce qui contredit $H_{2^n}\le M$. Donc la partie $\{H_n:n\ge 1\}$ n'est pas majorée.

Le point délicat. Chaque terme $\frac{1}{k}$ tend vers $0$, et la suite $(H_n)$ croît de moins en moins vite ; l'intuition dit qu'elle « plafonne ». Elle ne plafonne pas : la lenteur ne suffit pas à borner. Ce qui décide, ce n'est pas que les termes deviennent petits, c'est à quelle vitesse — et $\frac{1}{k}$ ne décroît pas assez vite, alors que $\frac{1}{k^2}$ décroît assez vite.

d) Compter, et comparer. Le raisonnement garantit $H_{2^n}\ge 1+\frac{n}{2}$ ; pour obtenir $1+\frac{n}{2}\ge 10$ il faut $n\ge 18$, soit $2^{18}=262144$ termes. C'est une garantie, pas un seuil : la vraie valeur, qu'on ne peut pas obtenir avec les outils de ce chapitre, est bien plus petite — $H_n$ dépasse $10$ à partir de $n=12367$. Mais l'ordre de grandeur est le bon message : pour gagner une unité, il faut multiplier le nombre de termes par environ $e^1\approx 2,7$ ; la somme croît « comme le logarithme », ce que le chapitre d'analyse asymptotique établira.

Face à cela, la séance précédente a montré $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\le 2-\frac{1}{n}<2$ : cette somme-là est majorée. Les deux suites de termes $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k^2}$ tendent vers $0$ ; la première somme dépasse tout, la seconde reste sous $2$. La différence entre $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k^2}$ est toute la différence entre une série divergente et une série convergente — c'est le chapitre des séries, et c'est ici qu'il commence.

Ce que l'exercice installe. Le regroupement par paquets — comparer chaque paquet à une quantité fixe, puis compter les paquets — est le procédé pour minorer une somme dont les termes décroissent. Oresme l'a trouvé vers 1350 ; on le retrouvera tel quel pour les séries de Riemann, et sous sa forme générale dans la comparaison série-intégrale. Et la question c) a rappelé que « non majorée » est une phrase avec un quantificateur : pour tout $M$, il existe un $n$ — et que c'est la partie entière qui fournit ce $n$.