mathématiques MPSI · Chapitre 2 · Exercice de TD

Les paquets d'Oresme : $H_{n}$ n'est pas majorée

Calcul algébrique et trigonométrie · E. Inégalités, valeur absolue, parties bornées · niveau 2

Énoncé

On note $H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ pour $n \in N^{*}$ .

a) Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $\frac{1}{2} \leq k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \leq 1$ .

b) En déduire que $H_{2^{n}} \geq 1 + \frac{n}{2}$ pour tout $n \in N$ .

c) Montrer que la partie ${H_{n} : n \in N^{*}}$ de $R$ n'est pas majorée.

d) Combien de termes ce raisonnement garantit-il pour dépasser $10$ ? Comparer avec l'exercice 3 de la séance précédente : $k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$ . Dans les deux cas, les termes tendent vers $0$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Une seule technique, celle du cours : pour majorer ou minorer une somme, on encadre chaque terme par le plus grand ou le plus petit, et l'on compte les termes. Puis la définition d'une partie majorée, et l'existence de la partie entière d'un réel.

a) L'encadrement d'un paquet. La somme $k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k}$ comporte $2 n - (n + 1) + 1 = n$ termes. Pour $n + 1 \leq k \leq 2 n$ , la fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs, $\frac{1}{2 n} \leq \frac{1}{k} \leq \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{n} .$ En sommant ces $n$ encadrements : $n \cdot \frac{1}{2 n} \leq k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \leq n \cdot \frac{1}{n}, c’est- a ˋ -dire \frac{1}{2} \leq k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \leq 1.$ Le minorant $\frac{1}{2}$ ne dépend pas de $n$ : voilà le point. Le paquet de $n$ termes qui suit le $n$ -ième pèse toujours au moins un demi, aussi loin qu'on aille.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire que $H_{2^{n}} \geq 1 + \frac{n}{2}$ pour tout $n \in N$ .

Élève

Je veux faire une récurrence sur $n$ , mais je ne vois pas comment passer de $H_{2^{n}}$ à $H_{2^{n + 1}}$ : le nombre de termes double.

Justement : écris la différence $H_{2^{n + 1}} - H_{2^{n}}$ comme une somme. Combien a-t-elle de termes, entre quels indices, et à quoi ressemble-t-elle dans l'énoncé ?

Élève

C'est la somme des $\frac{1}{k}$ pour $k$ de $2^{n} + 1$ à $2^{n + 1}$ , soit $2^{n}$ termes : c'est la somme du a) avec $2^{n}$ à la place de $n$ .

Que te donne alors le a) sur cette différence, et comment l'injectes-tu dans l'hypothèse de récurrence ? N'oublie pas de vérifier l'initialisation : que vaut $H_{2^{0}}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Les paquets d'Oresme : Hn​ n'est pas majorée

Énoncé

Corrigé de la question 1

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Les paquets d'Oresme : $H_{n}$ n'est pas majorée