Montrer qu'un système homogène de p équations à n inconnues avec n > p…

Ce qu'il faut démontrer. Un système homogène — tous les seconds membres nuls — de $p$ équations à $n$ inconnues, avec $n>p$, admet une solution autre que $(0,\dots ,0)$.

Stratégie : le pivot, et le comptage des inconnues qu'il laisse libres.

1) La solution nulle est toujours là. Un système homogène admet $(0,\dots ,0)$ pour solution : chaque équation s'y lit $0=0$. L'ensemble des solutions n'est donc jamais vide ; toute la question est de savoir s'il contient autre chose.

2) Le pivot ne change pas l'ensemble des solutions. Les trois opérations élémentaires (échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre) transforment le système en un système équivalent, et une combinaison de lignes de seconds membres nuls reste nulle : le système reste homogène tout au long de l'algorithme.

3) Le comptage, qui est le cœur de la preuve. Appliquons l'algorithme du pivot. Il produit un système échelonné, dans lequel chaque pivot est porté par une ligne distincte. Comme le système compte $p$ lignes, il y a au plus $p$ pivots. Les inconnues se répartissent alors en deux familles :

• les inconnues principales, celles qui portent un pivot : au plus $p$ ;
• les inconnues secondaires (ou libres), toutes les autres : au moins $$n-p>0$$

Il existe donc au moins une inconnue libre.

4) La construction d'une solution non nulle. Donnons à une inconnue libre la valeur $1$, et $0$ à toutes les autres inconnues libres. Le système échelonné détermine alors les inconnues principales, de la dernière équation vers la première, sans aucune condition de compatibilité — les seconds membres étant nuls, aucune ligne ne peut devenir $0=c$ avec $c\ne 0$.

On obtient une solution du système dont au moins une coordonnée vaut $1$ : elle n'est pas la solution nulle. $■$

Où l'hypothèse $n>p$ a servi. Exactement une fois, au point 3 : c'est elle, et elle seule, qui garantit qu'il reste une inconnue libre. Avec $n⩽p$, la conclusion tombe — le système $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$ ($n=p=2$) n'a que la solution nulle.

Ce que le résultat annonce. « Plus d'inconnues que d'équations $\Rightarrow$ il y a autre chose que zéro » est la première forme d'un énoncé qui reviendra sous un autre vocabulaire : une famille de plus de $p$ vecteurs dans un espace engendré par $p$ vecteurs est liée. Le pivot en donne ici la preuve élémentaire.