Résoudre sin (2x) = sin (x).

Stratégie : tout ramener à un produit nul. Une équation trigonométrique se résout en factorisant, jamais en divisant : diviser par une quantité qui peut s'annuler fait perdre les solutions où elle s'annule.

Le calcul. La formule de duplication donne $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. L'équation s'écrit donc $$2\sin x\cos x=\sin x⟺2\sin x\cos x-\sin x=0$$ et, en factorisant par $\sin x$ : $$\boxed{\sin x(2\cos x-1)=0}$$

Un produit de deux réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est. On obtient deux familles :

Cas 1 : $\sin x=0$. Alors $$x\equiv 0[\pi ],\text{soit }x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Cas 2 : $\cos x=\frac{1}{2}$. Alors $$x\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]\text{ou}x\equiv -\frac{\pi }{3}[2\pi ]$$

L'ensemble des solutions. $$\mathcal{S}=\left\{k\pi \right\}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}\cup \left\{-\frac{\pi }{3}+2k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$$ Sur $[0,2\pi [$, cela donne quatre solutions : $0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$.

⚠️ L'erreur à ne pas commettre, et c'est tout l'exercice. Devant $2\sin x\cos x=\sin x$, la tentation est de « simplifier par $\sin x$ » pour obtenir $2\cos x=1$. Ce geste suppose $\sin x\ne 0$ sans le dire, et fait disparaître toute la famille $x=k\pi$ — soit la moitié des solutions sur $[0,2\pi [$. Une division n'est licite que si l'on a écarté explicitement le cas où le diviseur s'annule, et traité ce cas à part.

Contrôle. $x=\pi$ : $\sin (2\pi )=0$ et $\sin \pi =0$ ✓ — une solution que la simplification aurait perdue. $x=\frac{\pi }{3}$ : $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

La règle générale. On ne divise jamais par une expression trigonométrique : on factorise et on annule un produit. Le réflexe vaut pour toute l'année, et bien au-delà de la trigonométrie.