Un système à paramètre : les valeurs qui annulent un pivot

La stratégie. L'algorithme du pivot, sans rien deviner : on élimine $x$ des lignes $2$ et $3$ grâce à la ligne $1$, dont le coefficient de $x$ vaut $1$ quel que soit $a$ — c'est un pivot qui ne s'annule jamais, et c'est pour cela qu'on le choisit. Ensuite on regarde, à chaque division, si le coefficient par lequel on divise peut être nul : ce sont exactement les valeurs de $a$ à discuter.

1) Première élimination. Les opérations $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-a{L}_1$ transforment le système en un système équivalent : $$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ (a-1)y+(1-a)z=0\\ (1-a)y+(1-a^2)z=1-a\end{array}$$ (pour la troisième ligne : $1-a\cdot 1=1-a$ en $y$, $1-a\cdot a=1-a^2$ en $z$, $1-a\cdot 1=1-a$ au second membre).

2) Premier pivot possible : $a-1$. La deuxième ligne s'écrit $(a-1)(y-z)=0$ et la troisième $(1-a)(y+(1+a)z)=1-a$, car $1-a^2=(1-a)(1+a)$.

Cas $a=1$. Les lignes $2$ et $3$ deviennent $0=0$ : il ne reste que $x+y+z=1$. L'ensemble des solutions est $${\mathcal{S}}_1=\{(1-y-z,y,z):(y,z)\in {\mathbb{R}}^2\},$$ un plan de ${\mathbb{R}}^3$ : les trois équations de départ étaient la même, les trois plans sont confondus.

Cas $a\ne 1$. On peut diviser la ligne $2$ par $a-1$ et la ligne $3$ par $1-a$, tous deux non nuls : $$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ y-z=0\\ y+(1+a)z=1\end{array}$$

3) Second pivot possible : $a+2$. L'opération $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne $(1+a+1)z=1$, c'est-à-dire $$(a+2)z=1.$$

Sous-cas $a=-2$. L'équation s'écrit $0\cdot z=1$ : aucune solution, ${\mathcal{S}}_{-2}=\varnothing$.

Sous-cas $a\notin \{1,-2\}$. On remonte : $z=\frac{1}{a+2}$, puis $y=z=\frac{1}{a+2}$, puis $$x=1-y-az=1-\frac{1+a}{a+2}=\frac{a+2-1-a}{a+2}=\frac{1}{a+2}.$$ L'unique solution est $${\mathcal{S}}_a=\left\{\left(\frac{1}{a+2},\frac{1}{a+2},\frac{1}{a+2}\right)\right\}.$$ Contrôle. Pour $a=0$ : $x=y=z=\frac{1}{2}$, et chaque équation donne $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Pour $a=2$ : $x=y=z=\frac{1}{4}$, et $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=1$.

4) L'interprétation géométrique. Chaque équation est celle d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$, de vecteur normal $(1,1,a)$, $(1,a,1)$, $(a,1,1)$ respectivement. Pour $a=1$, les trois plans sont confondus : l'intersection est le plan lui-même. Pour $a\notin \{1,-2\}$, les trois plans se coupent en un point unique, situé sur la droite $x=y=z$ — ce que la symétrie du système laissait prévoir : si $(x,y,z)$ est solution, toute permutation de ses coordonnées l'est aussi, et une solution unique est donc invariante par permutation. Pour $a=-2$, les plans sont deux à deux sécants (leurs normales $(1,1,-2)$, $(1,-2,1)$, $(-2,1,1)$ ne sont pas colinéaires) mais n'ont aucun point commun : ils forment un prisme, les trois droites d'intersection deux à deux étant parallèles à la direction $(1,1,1)$, qui est orthogonale aux trois normales.

5) La discussion par la somme. Additionnons les trois équations de départ : $(a+2)x+(a+2)y+(a+2)z=3$, soit $$(a+2)(x+y+z)=3.$$ Si $a=-2$, cette conséquence s'écrit $0=3$ : aucune solution, sans aucun calcul de pivot. Si $a\ne -2$, toute solution vérifie $x+y+z=\frac{3}{a+2}$ ; en soustrayant deux équations, par exemple la première moins la deuxième, $(1-a)(y-z)=0$, et de même $(1-a)(x-y)=0$ : pour $a\ne 1$, $x=y=z$, et l'on retrouve $x=\frac{1}{a+2}$. La somme des équations a vu le cas $a=-2$ avant le pivot : c'est parce que la somme des trois normales, $(a+2)(1,1,1)$, s'annule exactement pour $a=-2$.

Le point délicat. Une discussion selon un paramètre ne se fait pas « au jugé » : les valeurs à isoler sont celles qui annulent un pivot — ici $a=1$ à la deuxième étape, $a=-2$ à la troisième — et rien d'autre. Oublier de discuter avant de diviser, c'est perdre le plan de solutions du cas $a=1$ et affirmer une solution unique là où il n'y en a aucune.

Ce que l'exercice installe. Trois natures d'ensemble de solutions pour un même système : un point, un plan, le vide. Le pivot les distingue mécaniquement, et l'on retiendra le geste — repérer les valeurs du paramètre qui annulent un pivot — qu'on retrouvera au chapitre des matrices sous le nom de rang, et au chapitre des déterminants, où l'on verra que le déterminant $-(a-1{)}^2(a+2)$ de ce système s'annule précisément en $1$ et $-2$.