mathématiques MPSI · Chapitre 2 · Application directe du cours

Sommes combinatoires

Calcul algébrique et trigonométrie · C. Coefficients binomiaux et formule du binôme · niveau 2

Énoncé

Calculer la somme $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k (k n)$ .

Corrigé

Utilisons l'identité de l'absorption : pour $1 \leq k \leq n$ : $k (k n) = k \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!} = n \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! (( n - 1 ) - ( k - 1 ))!} = n (k - 1 n - 1)$ Par suite : $S_{n} = k = 1 \sum n n (k - 1 n - 1) = n j = 0 \sum n - 1 (j n - 1)$ Par la formule du binôme de Newton appliquée à $(1 + 1)^{n - 1}$ : $S_{n} = n 2^{n - 1}$

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