La crosse de hockey : la relation de Pascal est un télescopage

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 2 — Calcul algébrique et trigonométrie · C. Coefficients binomiaux et formule du binôme

Énoncé

Soit $p \in N$ .

a) Montrer que pour tout entier $k \geq p$ , $(p k) = (p + 1 k + 1) - (p + 1 k)$ (le coefficient binomial $(p k)$ se lit « $p$ parmi $k$ »), et en déduire, pour tout $n \geq p$ : $k = p \sum n (p k) = (p + 1 n + 1) .$ Retrouver ce résultat par récurrence sur $n$ . Sur le triangle de Pascal, repérer les termes sommés et le résultat : d'où le nom.

b) En déduire $k = 1 \sum n k = (2 n + 1)$ et $k = 1 \sum n k (k - 1) = 2 (3 n + 1)$ , puis retrouver $k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ en écrivant $k^{2} = k (k - 1) + k$ .

c) Calculer $k = 1 \sum n k (k + 1) (k + 2)$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de Pascal du cours, $(p k) + (p + 1 k) = (p + 1 k + 1)$ (« $p$ parmi $k$ plus $p$ plus un parmi $k$ égale $p$ plus un parmi $k$ plus un »), la convention $(q k) = 0$ quand $q > k$ , et le télescopage : $k = p \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = u_{n + 1} - u_{p}$ .

a) Le télescopage. La relation de Pascal, réécrite, dit exactement $(p k) = (p + 1 k + 1) - (p + 1 k)$ . Posons $u_{k} = (p + 1 k)$ : le terme général de la somme est $u_{k + 1} - u_{k}$ , et la somme télescope : $k = p \sum n (p k) = k = p \sum n (u_{k + 1} - u_{k}) = u_{n + 1} - u_{p} = (p + 1 n + 1) - (p + 1 p) = (p + 1 n + 1),$ puisque $(p + 1 p) = 0$ par la convention. C'est ici que la convention n'est pas un détail : sans elle, le premier terme du télescopage n'aurait pas de sens.

Par récurrence sur $n \geq p$ . Initialisation, $n = p$ : la somme se réduit à $(p p) = 1$ , et $(p + 1 p + 1) = 1$ . Hérédité : si $k = p \sum n (p k) = (p + 1 n + 1)$ , alors $k = p \sum n + 1 (p k) = (p + 1 n + 1) + (p n + 1) = (p + 1 n + 2)$ par la relation de Pascal appliquée à $n + 1$ et $p$ . C'est la formule au rang $n + 1$ . Les deux preuves sont la même : la récurrence est le télescopage, déroulé pas à pas.

Sur le triangle de Pascal. Les coefficients $(p p), (p p + 1), \dots, (p n)$ sont alignés le long d'une diagonale descendante du triangle (la $p$ -ième colonne, si l'on aligne les lignes à gauche) : c'est le manche de la crosse. Le résultat $(p + 1 n + 1)$ est le coefficient situé juste en dessous et à droite du dernier terme : c'est la lame. Pour $p = 1$ : les termes $(1 1), (1 2), (1 3), (1 4)$ , soit $1, 2, 3, 4$ , descendent la colonne $p = 1$ des lignes $1$ à $4$ ; leur somme $10 = (2 5)$ se lit sur la ligne $5$ , une colonne plus à droite — la lame de la crosse, tournée vers la droite au bout du manche.

b) Les sommes de puissances. Pour $p = 1$ , $(1 k) = k$ et l'identité donne $k = 1 \sum n k = (2 n + 1) = \frac{( n + 1 ) n}{2},$ la somme de référence. Pour $p = 2$ , $(2 k) = \frac{k ( k - 1 )}{2}$ , donc $k = 2 \sum n \frac{k ( k - 1 )}{2} = (3 n + 1) = \frac{( n + 1 ) n ( n - 1 )}{6}, soit k = 1 \sum n k (k - 1) = 2 (3 n + 1) = \frac{( n + 1 ) n ( n - 1 )}{3},$ le terme $k = 1$ étant nul. Enfin $k^{2} = k (k - 1) + k$ , et l'on somme les deux morceaux : $k = 1 \sum n k^{2} = \frac{( n + 1 ) n ( n - 1 )}{3} + \frac{n ( n + 1 )}{2} = n (n + 1) (\frac{n - 1}{3} + \frac{1}{2}) = n (n + 1) \cdot \frac{2 n - 2 + 3}{6} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} .$ On a retrouvé la formule du cours sans la deviner : la récurrence du cours vérifie une formule connue d'avance, le télescopage la produit.

Le point délicat. Pourquoi $k (k - 1)$ plutôt que $k^{2}$ ? Parce que $k^{2}$ n'est pas un coefficient binomial, alors que $k (k - 1) = 2 (2 k)$ en est un. Les « bonnes » puissances pour la relation de Pascal ne sont pas $1, k, k^{2}, k^{3}$ , mais $1, k, k (k - 1), k (k - 1) (k - 2)$ : toute puissance de $k$ s'écrit sur cette base, et chaque terme de la base se somme d'un coup.

c) Le produit de trois entiers consécutifs. On reconnaît $k (k + 1) (k + 2) = 6 (3 k + 2)$ , car $(3 k + 2) = \frac{( k + 2 ) ( k + 1 ) k}{6}$ . Donc, avec $j = k + 2$ qui va de $3$ à $n + 2$ : $k = 1 \sum n k (k + 1) (k + 2) = 6 j = 3 \sum n + 2 (3 j) = 6 (4 n + 3) = 6 \cdot \frac{( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n}{24} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}{4} .$ Contrôles. Pour $n = 1$ : $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ , et $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6$ . Pour $n = 2$ : $6 + 24 = 30$ , et $\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{4} = 30$ .

Ce que l'exercice installe. La relation de Pascal n'est pas seulement la règle de construction du triangle : lue comme $(p k) = u_{k + 1} - u_{k}$ , c'est un télescopage, et tout télescopage est une somme qu'on sait calculer. Et la base $1, k, k (k - 1), k (k - 1) (k - 2), \dots$ des « puissances factorielles » rend toutes les sommes de puissances immédiates : $k^{3} = k (k - 1) (k - 2) + 3 k (k - 1) + k$ donne de même $\sum k^{3} = 6 (4 n + 1) + 6 (3 n + 1) + (2 n + 1)$ , ce qui, réduit, est le carré de $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ . On retrouvera cette base au chapitre des polynômes, et le télescopage sous le nom de « sommation par parties » au chapitre des séries.

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