Télescopage. Calculer Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)) et Σₖ₌₁ⁿ ln (1 + 1/k ).

Stratégie : le télescopage. Une somme se télescope quand son terme général s'écrit comme une différence de deux valeurs consécutives d'une même suite : $u_k-u_{k+1}$. Tout s'annule alors deux à deux, et il ne reste que les extrémités.

1) La somme $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$.

La décomposition en éléments simples donne, pour $k⩾1$ : $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$ (on le vérifie en réduisant au même dénominateur : $\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$).

Donc, avec $u_k=\frac{1}{k}$ : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}$$ $$\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}}$$

2) La somme $\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$.

C'est le même mécanisme, caché sous le logarithme. Comme $1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}$ : $$\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k$$ Avec $u_k=\ln k$, la somme se télescope : $$\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)-\ln 1$$ $$\boxed{\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln (n+1)}$$

Contrôle. Pour $n=3$ : la première vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{6+2+1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}$ ✓. La seconde vaut $\ln 2+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}=\ln \left(2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\right)=\ln 4=\ln (3+1)$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Le télescopage n'est pas un truc de calcul : c'est la seule technique élémentaire qui donne une somme exacte sans récurrence. Le réflexe est donc de chercher, devant une somme, si son terme général est une différence — et la décomposition en éléments simples est l'outil qui la fait apparaître. Le second exemple montre au passage qu'un produit télescopique devient une somme télescopique par le logarithme : ce sont deux visages du même phénomène.