Le cosinus d'un cinquième de $\pi$

La stratégie : fabriquer une équation dont $\cos \frac{\pi }{5}$ est racine. L'angle $\frac{\pi }{5}$ n'est pas usuel ; on ne peut pas le lire sur le cercle. Mais il vérifie une relation algébrique, $5\theta =\pi$, et les formules de duplication vont la traduire en une équation polynomiale en $\cos \theta$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $\cos (\pi -u)=-\cos u$, $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$, et les formules d'addition pour obtenir $\cos 3\theta$.

a) 1) La relation angulaire. Posons $\theta =\frac{\pi }{5}$. Alors $5\theta =\pi$, donc $3\theta =\pi -2\theta$, et en prenant le cosinus, $$\cos 3\theta =\cos (\pi -2\theta )=-\cos 2\theta .$$

2) Tout en fonction de $c=\cos \theta$. La duplication donne $\cos 2\theta =2c^2-1$. Pour le triple, on écrit $3\theta =2\theta +\theta$ : $$\cos 3\theta =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2\sin \theta \cos \theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2c(1-c^2)=4c^3-3c.$$ La relation du 1) devient $4c^3-3c=-(2c^2-1)$, c'est-à-dire $$4c^3+2c^2-3c-1=0.$$

3) Une racine évidente, et la factorisation. Le réel $-1$ annule ce polynôme : $-4+2+3-1=0$. On factorise donc par $c+1$ : $4c^3+2c^2-3c-1=(c+1)(4c^2-2c-1)$ — on vérifie en développant : $4c^3-2c^2-c+4c^2-2c-1=4c^3+2c^2-3c-1$.

4) On écarte les racines parasites. Comme $0<\theta <\frac{\pi }{2}$, on a $c=\cos \theta >0$ : la racine $-1$ n'est pas la nôtre. Il reste $4c^2-2c-1=0$, de discriminant $\Delta =4+16=20$, de racines $$c=\frac{2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}.$$ La racine $\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ est négative, car $\sqrt{5}>1$ : exclue. Il reste $$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$ Contrôle numérique. $\sqrt{5}\approx 2,236$, donc $\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx 0,809$ ; et $\cos 36°\approx 0,809$.

Le point délicat : trois racines pour une valeur. L'équation du 2) a trois racines, et le cosinus cherché n'en est qu'une. Écarter les deux autres n'est pas une formalité : c'est l'encadrement $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ qui le permet, et sans lui la démonstration ne conclut rien. On va voir au c) que ces racines parasites ne sont pas des accidents.

b) Le cosinus du double. Par duplication, $\cos \frac{2\pi }{5}=2c^2-1$ avec $c^2=\frac{(1+\sqrt{5}{)}^2}{16}=\frac{6+2\sqrt{5}}{16}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}$, donc $$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$$ Contrôle : $\approx 0,309$, et $\cos 72°\approx 0,309$. Alors $$\cos \frac{\pi }{5}-\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{(1+\sqrt{5})-(\sqrt{5}-1)}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\cos \frac{\pi }{5}\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{16}=\frac{5-1}{16}=\frac{1}{4}.$$ Ces deux relations disent que $\cos \frac{\pi }{5}$ et $-\cos \frac{2\pi }{5}$ ont pour somme $\frac{1}{2}$ et pour produit $-\frac{1}{4}$ : ce sont les deux racines de $c^2-\frac{1}{2}c-\frac{1}{4}=0$, c'est-à-dire de $4c^2-2c-1=0$. La racine « parasite » $\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ est $-\cos \frac{2\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{5}$.

c) D'où viennent les trois racines. Reprenons l'équation du 1) sans fixer $\theta$ : $\cos 3\theta =-\cos 2\theta =\cos (\pi -2\theta )$. Deux réels ont le même cosinus si et seulement s'ils sont égaux ou opposés modulo $2\pi$ : $$3\theta \equiv \pi -2\theta [2\pi ]\text{ou}3\theta \equiv -(\pi -2\theta )[2\pi ],\text{soit}5\theta \equiv \pi [2\pi ]\text{ou}\theta \equiv -\pi [2\pi ].$$ La seconde donne $\theta \equiv \pi$, de cosinus $-1$ : la racine évidente. La première donne $\theta \equiv \frac{\pi }{5}\left[\frac{2\pi }{5}\right]$, c'est-à-dire $\theta \in \left\{\frac{\pi }{5},\frac{3\pi }{5},\pi ,\frac{7\pi }{5},\frac{9\pi }{5}\right\}$ modulo $2\pi$ : les cosinus correspondants sont $\cos \frac{\pi }{5}$, $\cos \frac{3\pi }{5}$, $-1$, $\cos \frac{7\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{5}$ et $\cos \frac{9\pi }{5}=\cos \frac{\pi }{5}$ — exactement trois valeurs distinctes, les trois racines de $4c^3+2c^2-3c-1$. Chaque racine est le cosinus d'un angle qui vérifie la même relation angulaire que $\frac{\pi }{5}$ : rien n'était parasite, tout était prévu.

Ce que l'exercice installe. Une valeur non usuelle se calcule en trois temps : une relation angulaire ($3\theta =\pi -2\theta$), sa traduction polynomiale par les formules de duplication et d'addition, et la sélection de la bonne racine par un encadrement. Et l'on a vu apparaître $\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{\phi }{2}$, la moitié du nombre d'or $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ : ce n'est pas un hasard, le pentagone régulier est la figure du nombre d'or. On retrouvera ce même cosinus au chapitre des nombres complexes, par la somme des racines cinquièmes de l'unité, et l'exercice 7 de cette séance-là montrera que $\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}}{4}$.