Le cosinus d'un cinquième de $\pi$

La stratégie : fabriquer une équation dont $\cos \frac{\pi }{5}$ est racine. L'angle $\frac{\pi }{5}$ n'est pas usuel ; on ne peut pas le lire sur le cercle. Mais il vérifie une relation algébrique, $5\theta =\pi$, et les formules de duplication vont la traduire en une équation polynomiale en $\cos \theta$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $\cos (\pi -u)=-\cos u$, $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$, et les formules d'addition pour obtenir $\cos 3\theta$.

a) 1) La relation angulaire. Posons $\theta =\frac{\pi }{5}$. Alors $5\theta =\pi$, donc $3\theta =\pi -2\theta$, et en prenant le cosinus, $$\cos 3\theta =\cos (\pi -2\theta )=-\cos 2\theta .$$

2) Tout en fonction de $c=\cos \theta$. La duplication donne $\cos 2\theta =2c^2-1$. Pour le triple, on écrit $3\theta =2\theta +\theta$ : $$\cos 3\theta =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2\sin \theta \cos \theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2c(1-c^2)=4c^3-3c.$$ La relation du 1) devient $4c^3-3c=-(2c^2-1)$, c'est-à-dire $$4c^3+2c^2-3c-1=0.$$

3) Une racine évidente, et la factorisation. Le réel $-1$ annule ce polynôme : $-4+2+3-1=0$. On factorise donc par $c+1$ : $4c^3+2c^2-3c-1=(c+1)(4c^2-2c-1)$ — on vérifie en développant : $4c^3-2c^2-c+4c^2-2c-1=4c^3+2c^2-3c-1$.

4) On écarte les racines parasites. Comme $0<\theta <\frac{\pi }{2}$, on a $c=\cos \theta >0$ : la racine $-1$ n'est pas la nôtre. Il reste $4c^2-2c-1=0$, de discriminant $\Delta =4+16=20$, de racines $$c=\frac{2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}.$$ La racine $\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ est négative, car $\sqrt{5}>1$ : exclue. Il reste $$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$ Contrôle numérique. $\sqrt{5}\approx 2,236$, donc $\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx 0,809$ ; et $\cos 36°\approx 0,809$.

Le point délicat : trois racines pour une valeur. L'équation du 2) a trois racines, et le cosinus cherché n'en est qu'une. Écarter les deux autres n'est pas une formalité : c'est l'encadrement $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ qui le permet, et sans lui la démonstration ne conclut rien. On va voir au c) que ces racines parasites ne sont pas des accidents.