L'identité de Hermite

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation de la partie entière : $\lfloor y\rfloor$ est l'unique entier $m$ tel que $m\le y<m+1$ ; et la règle $\lfloor y+m\rfloor =\lfloor y\rfloor +m$ pour $m\in \mathbb{Z}$. La stratégie, dans les deux premières questions, est toujours la même : écrire $x=\lfloor x\rfloor +\theta$ avec $\theta \in [0,1[$, et localiser $\theta$ — la partie entière ne dépend que de la tranche où tombe $\theta$.

a) Le cas $n=2$. Posons $x=\lfloor x\rfloor +\theta$ avec $0\le \theta <1$, et distinguons deux cas.

Si $0\le \theta <\frac{1}{2}$. Alors $x+\frac{1}{2}=\lfloor x\rfloor +\left(\theta +\frac{1}{2}\right)$ avec $\theta +\frac{1}{2}\in \left[\frac{1}{2},1\right[$, donc $\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor x\rfloor$. Et $2x=2\lfloor x\rfloor +2\theta$ avec $2\theta \in [0,1[$, donc $\lfloor 2x\rfloor =2\lfloor x\rfloor$. Les deux membres valent $2\lfloor x\rfloor$.

Si $\frac{1}{2}\le \theta <1$. Alors $\theta +\frac{1}{2}\in \left[1,\frac{3}{2}\right[$, donc $\lfloor x+\frac{1}{2}\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$. Et $2\theta \in [1,2[$, donc $\lfloor 2x\rfloor =2\lfloor x\rfloor +1$. Les deux membres valent $2\lfloor x\rfloor +1$.

Dans les deux cas l'égalité est vraie. Contrôle : $x=2,7$ donne $2+3=5=\lfloor 5,4\rfloor$ ; $x=-0,3$ donne $-1+0=-1=\lfloor -0,6\rfloor$.

b) Localiser $\theta$ dans une tranche de largeur $\frac{1}{n}$. Par définition de $j=\lfloor n\theta \rfloor$, on a $j\le n\theta <j+1$, c'est-à-dire $$\frac{j}{n}\le \theta <\frac{j+1}{n},$$ et $0\le n\theta <n$ donne bien $j\in \{0,\dots ,n-1\}$. Soit $k\in \{0,\dots ,n-1\}$. Alors $x+\frac{k}{n}=\lfloor x\rfloor +\left(\theta +\frac{k}{n}\right)$, avec $$\frac{j+k}{n}\le \theta +\frac{k}{n}<\frac{j+k+1}{n}.$$

Si $k\le n-1-j$, c'est-à-dire $j+k+1\le n$ : alors $0\le \theta +\frac{k}{n}<1$, donc $\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor$.

Si $k\ge n-j$, c'est-à-dire $j+k\ge n$ : alors $\theta +\frac{k}{n}\ge 1$ ; et d'autre part $j+k+1\le (n-1)+(n-1)+1=2n-1<2n$, donc $\theta +\frac{k}{n}<2$. Ainsi $1\le \theta +\frac{k}{n}<2$, et $\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\lfloor x\rfloor +1$.

c) On somme. Parmi les $n$ valeurs $k=0,\dots ,n-1$, celles qui vérifient $k\ge n-j$ sont $k=n-j,n-j+1,\dots ,n-1$ : il y en a exactement $j$ (et aucune si $j=0$, ce qui est cohérent). Donc $$\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =n\lfloor x\rfloor +j.$$ D'autre part $nx=n\lfloor x\rfloor +n\theta$, où $n\lfloor x\rfloor$ est un entier, donc $\lfloor nx\rfloor =n\lfloor x\rfloor +\lfloor n\theta \rfloor =n\lfloor x\rfloor +j$. Les deux membres sont égaux : c'est l'identité de Hermite. Le a) en est le cas $n=2$.

Le point délicat. Tout repose sur le fait que les $n$ nombres $\theta +\frac{k}{n}$, pour $k=0,\dots ,n-1$, sont régulièrement espacés de $\frac{1}{n}$ sur un intervalle de longueur $1$ : exactement $j$ d'entre eux franchissent $1$, ni plus ni moins, et $j$ est précisément $\lfloor n\theta \rfloor$. La démonstration ne fait que compter ces franchissements.

d) La seconde preuve : périodicité. Calculons $f\left(x+\frac{1}{n}\right)$. D'une part $\lfloor n\left(x+\frac{1}{n}\right)\rfloor =\lfloor nx+1\rfloor =\lfloor nx\rfloor +1$. D'autre part $$\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{1}{n}+\frac{k}{n}\rfloor =\sum _{k=1}^n\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +\lfloor x+1\rfloor =\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +\lfloor x\rfloor +1,$$ par le changement d'indice $k\mapsto k+1$, puis en isolant le terme $k=n$. Cette dernière somme est $\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor +1$. Donc $$f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\lfloor nx\rfloor +1-\sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor -1=f(x):$$ $f$ est $\frac{1}{n}$-périodique. Sur $\left[0,\frac{1}{n}\right[$ : $0\le nx<1$ donne $\lfloor nx\rfloor =0$, et pour $k\le n-1$, $0\le x+\frac{k}{n}<\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}=1$ donne $\lfloor x+\frac{k}{n}\rfloor =0$ ; donc $f=0$ sur $\left[0,\frac{1}{n}\right[$. Enfin tout réel $x$ s'écrit $x=x_0+\frac{m}{n}$ avec $m=\lfloor nx\rfloor \in \mathbb{Z}$ et $x_0=x-\frac{m}{n}\in \left[0,\frac{1}{n}\right[$ ; par périodicité, $f(x)=f(x_0)=0$. L'identité de Hermite est démontrée une seconde fois.

Ce que l'exercice installe. Deux stratégies pour une même égalité entre entiers. La première localise : on écrit $x=\lfloor x\rfloor +\theta$, on découpe $[0,1[$ en tranches et l'on regarde dans laquelle tombe $\theta$. La seconde réduit : une fonction périodique se connaît sur une période, et une égalité vraie sur $\left[0,\frac{1}{n}\right[$ se propage à $\mathbb{R}$. Ce second geste — vérifier sur un domaine fondamental, étendre par périodicité — est celui de toute la trigonométrie, et l'on va s'en servir dans l'exercice suivant.