Montrer que Σₖ₌₀ⁿ C(k parmi n)² = C(n parmi 2n).

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 2 — Calcul algébrique et trigonométrie · C. Coefficients binomiaux et formule du binôme

Énoncé

Montrer que $k = 0 \sum n (k n)^{2} = (n 2 n)$ .

Corrigé

Stratégie : compter la même chose de deux façons. On part d'une identité de polynômes évidente, et l'on identifie un coefficient des deux côtés. C'est le raisonnement le plus rentable de tout le chapitre sur les binomiaux.

L'identité de départ. Pour tout $x$ : $(1 + x)^{n} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{2 n}$

Le membre de droite. La formule du binôme donne directement $(1 + x)^{2 n} = m = 0 \sum 2 n (m 2 n) x^{m}$ et le coefficient de $x^{n}$ y vaut $(n 2 n)$ .

Le membre de gauche. Développons chaque facteur : $(i = 0 \sum n (i n) x^{i}) (j = 0 \sum n (j n) x^{j})$ Le produit de deux termes contribue à $x^{n}$ exactement lorsque $i + j = n$ , c'est-à-dire $j = n - i$ . Le coefficient de $x^{n}$ vaut donc $i = 0 \sum n (i n) (n - i n)$

La symétrie referme le calcul. Or $(n - i n) = (i n)$ (choisir $n - i$ objets parmi $n$ , c'est choisir les $i$ qu'on laisse). Le coefficient de $x^{n}$ à gauche vaut donc $i = 0 \sum n (i n)^{2}$ .

Conclusion. Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients : $k = 0 \sum n (k n)^{2} = (n 2 n)$

Contrôle. Pour $n = 3$ : $1 + 9 + 9 + 1 = 20$ , et $(3 6) = 20$ ✓.

Lecture combinatoire. L'identité dit quelque chose de simple : pour choisir $n$ objets parmi $2 n$ , on partage les $2 n$ en deux paquets de $n$ , on en prend $k$ dans le premier et $n - k$ dans le second, et l'on somme sur $k$ . C'est le cas particulier le plus utile de la formule de Vandermonde.

⚠️ Le point de méthode à emporter. Quand une identité mêle des binomiaux, chercher le polynôme dont ils sont les coefficients. Ici $(1 + x)^{n}$ ; ailleurs ce sera $(1 + x)^{n} (1 - x)^{n}$ , ou une dérivation. L'algèbre des polynômes fait alors le travail que le calcul direct rendrait pénible.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.