Télescopage, deuxième temps. Calculer Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+2)). On pourra…

Stratégie : le télescopage, mais à décalage double. L'énoncé fournit la décomposition ; tout l'exercice tient dans la conséquence de ce 2 au dénominateur.

Le calcul. En sommant la décomposition donnée : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$$ Séparons les deux sommes, puis décalons l'indice de la seconde ($j=k+2$, donc $j$ va de $3$ à $n+2$) : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+2}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum _{j=3}^{n+2}\frac{1}{j}$$ Les termes d'indice $3$ à $n$ sont communs aux deux sommes et disparaissent. Il reste ceux que la première a en trop au début, et ceux que la seconde a en trop à la fin : $$=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$$ D'où, en remettant le facteur $\frac{1}{2}$ : $$\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}}$$

⚠️ Le point délicat, et c'est tout l'exercice. Avec un décalage de un rang, un seul terme survit à chaque bout. Avec un décalage de deux, il en survit deux de chaque côté — $\frac{1}{1}$ et $\frac{1}{2}$ au début, $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n+2}$ à la fin. Écrire mécaniquement « le premier moins le dernier », comme au n° 1, donne un résultat faux.

Contrôle. Pour $n=2$ : $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{11}{24}$. Et la formule : $\frac{2\cdot 11}{4\cdot 3\cdot 4}=\frac{22}{48}=\frac{11}{24}$ ✓.

À retenir. Un télescopage à décalage $d$ laisse $d$ termes à chaque extrémité. C'est le décalage, et lui seul, qui dit combien de termes survivent — vérifier sur un petit $n$ coûte trente secondes et évite l'erreur.