Trois sommes doubles, trois domaines

La stratégie : lire le domaine avant la fonction. Dans une somme double, ce qui commande le calcul n'est pas le terme général mais l'ensemble des couples $(i,j)$ sur lesquels on somme. Les trois questions portent la même idée avec trois domaines différents : un triangle décrit « à $i$ fixé », le carré tout entier, et le triangle strict, au-dessus de la diagonale. Ce qu'on a le droit d'utiliser : les sommes de référence $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ et $\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, et la factorisation d'une somme double à variables séparées.

a) Le triangle, à $i$ fixé.

Premier sens. Le domaine est $\{(i,j):1\le j\le i\le n\}$. À $i$ fixé, la somme intérieure est une somme de référence, $\sum _{j=1}^{i}j=\frac{i(i+1)}{2}$, donc $$S=\sum _{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}=\frac{1}{2}\left(\sum _{i=1}^n{i}^2+\sum _{i=1}^{n}i\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right).$$ Mettons $\frac{n(n+1)}{2}$ en facteur : $$S=\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{2n+1}{3}+1\right)=\frac{n(n+1)}{4}\cdot \frac{2n+4}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$

Second sens : l'interversion. Décrivons le même domaine en fixant $j$ d'abord : pour $j$ fixé entre $1$ et $n$, la condition $j\le i\le n$ dit que $i$ décrit $\{j,j+1,\dots ,n\}$, soit $n-j+1$ valeurs. Le terme général $j$ ne dépend pas de $i$, donc la somme intérieure vaut $j(n-j+1)$, et $$S=\sum _{j=1}^{n}j(n+1-j)=(n+1)\sum _{j=1}^{n}j-\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{n(n+1{)}^2}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)}{6}(3(n+1)-(2n+1))=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$ Les deux voies concordent. Contrôle pour $n=3$ : les couples $(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)$ donnent $1+1+2+1+2+3=10$, et $\frac{3\cdot 4\cdot 5}{6}=10$.

Le point délicat de l'interversion. Intervertir, ce n'est pas « échanger les deux signes somme » : c'est redécrire le même domaine dans l'autre ordre, et les bornes changent. Écrire ${\sum }_{j=1}^n{\sum }_{i=1}^j$ décrirait un autre triangle — celui où $i\le j$ — donc une autre somme. Le réflexe qui protège : dessiner le domaine, points à coordonnées entières dans le plan, et le balayer par lignes puis par colonnes.

b) Le carré entier. Ici le domaine est un produit : $i$ et $j$ varient indépendamment de $1$ à $n$. On sépare les deux morceaux du terme général : $$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}j.$$ Dans la première somme, $i$ ne dépend pas de $j$ : la somme intérieure vaut $ni$, et la somme totale $n\sum i=\frac{n^2(n+1)}{2}$. La seconde est la même par symétrie des rôles de $i$ et $j$. Donc $$\sum _{1\le i,j\le n}(i+j)=2\cdot \frac{n^2(n+1)}{2}=n^2(n+1).$$ Contrôle pour $n=2$ : les quatre couples donnent $2+3+3+4=12$, et $4\cdot 3=12$.

c) Le triangle strict. C'est ici que le domaine paie. Découpons le carré $\{1,\dots ,n{\}}^2$ en trois morceaux disjoints : la diagonale $i=j$, le triangle strict $i<j$, et son symétrique $i>j$. Le terme $ij$ est symétrique en $i$ et $j$ : les deux triangles portent la même somme (on passe de l'un à l'autre par le changement d'indices $(i,j)\mapsto (j,i)$). Donc $$\sum _{1\le i,j\le n}ij=\sum _{k=1}^n{k}^2+2\sum _{1\le i<j\le n}ij.$$ Or le membre de gauche est un produit de deux sommes : $\sum _{1\le i,j\le n}ij=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)\left(\sum _{j=1}^{n}j\right)={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$. D'où $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\frac{1}{2}\left[\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]=\frac{n(n+1)}{4}\left[\frac{n(n+1)}{2}-\frac{2n+1}{3}\right]=\frac{n(n+1)}{24}(3n^2+3n-4n-2).$$ Il reste à factoriser $3n^2-n-2$ : $n=1$ l'annule, donc $3n^2-n-2=(n-1)(3n+2)$ (on vérifie : $3n^2+2n-3n-2$). Finalement $$\sum _{1\le i<j\le n}ij=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}.$$ Contrôles. Pour $n=3$ : les couples $(1,2),(1,3),(2,3)$ donnent $2+3+6=11$, et $\frac{3\cdot 4\cdot 2\cdot 11}{24}=11$. Pour $n=4$ : $2+3+4+6+8+12=35$, et $\frac{4\cdot 5\cdot 3\cdot 14}{24}=35$.

Ce que l'exercice installe. Une somme double se traite en regardant son domaine : un produit, on sépare ; un triangle, on somme dans l'ordre le plus commode ou l'on intervertit en redécrivant ; un triangle strict, on le complète en carré et l'on retranche la diagonale. Le carré est la diagonale plus deux fois le triangle strict — c'est exactement le calcul qui, dans le problème final, fabriquera l'identité de Lagrange.