Montrer que Σₖ₌₁ⁿ k³ = (Σₖ₌₁ⁿ k )² = (n²(n+1)²)/4. ⚠️ L'égalité entre…

Calcul algébrique et trigonométrie · B. Sommes de référence,

a^{n} - b^{n}

et sommes doubles · niveau 2

Énoncé

Montrer que $k = 1 \sum n k^{3} = (k = 1 \sum n k)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ . ⚠️ L'égalité entre une somme de cubes et un carré de somme est un accident remarquable : ne la généralisez pas aux autres puissances.

Corrigé

Stratégie : la récurrence, avec la somme usuelle $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ pour acquis.

Notons $P (n)$ : $k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ .

Initialisation. Pour $n = 1$ : la somme vaut $1$ , et $\frac{1 ^{2} \cdot 2 ^{2}}{4} = 1$ . $P (1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P (n)$ vraie pour un $n ⩾ 1$ . Alors $k = 1 \sum n + 1 k^{3} = hypoth e ˋ se k = 1 \sum n k^{3} + (n + 1)^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} + (n + 1)^{3}$ Mettons $(n + 1)^{2}$ en facteur — c'est le geste qui fait tout : $= (n + 1)^{2} (\frac{n ^{2}}{4} + (n + 1)) = (n + 1)^{2} \cdot \frac{n ^{2} + 4 n + 4}{4} = \frac{( n + 1 ) ^{2} ( n + 2 ) ^{2}}{4}$ C'est exactement $P (n + 1)$ . Par récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n ⩾ 1$ . $■$

Le carré de somme. Comme $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ , on a $(\sum_{k = 1}^{n} k)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$ , d'où l'égalité annoncée : $k = 1 \sum n k^{3} = (k = 1 \sum n k)^{2}$

Contrôle. $1 + 8 + 27 = 36 = 6^{2} = (1 + 2 + 3)^{2}$ ✓.

⚠️ Un accident, pas une règle. Cette égalité est propre au cube. On n'a ni $\sum k^{2} = (\sum k)^{3/2}$ , ni $\sum k^{4} = (\sum k)^{?}$ : dès $n = 2$ , $\sum k^{2} = 5$ n'est aucune puissance simple de $\sum k = 3$ . La tentation de généraliser est réelle et il faut la nommer pour ne pas y céder.

Cette identité resservira toute l'année, notamment au n° 4 c), où c'est elle qui débloque le calcul.