Montrer que Σₖ₌₁ⁿ k³ = (Σₖ₌₁ⁿ k )² = (n²(n+1)²)/4. ⚠️ L'égalité entre…

Stratégie : la récurrence, avec la somme usuelle ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ pour acquis.

Notons $P(n)$ : $\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$.

Initialisation. Pour $n=1$ : la somme vaut $1$, et $\frac{1^2\cdot 2^2}{4}=1$. $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un $n⩾1$. Alors $$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^3=\underset{\text{hypotheˋse}}{\underbrace{\sum _{k=1}^n{k}^3}}+(n+1{)}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+(n+1{)}^3$$ Mettons $(n+1{)}^2$ en facteur — c'est le geste qui fait tout : $$=(n+1{)}^2\left(\frac{n^2}{4}+(n+1)\right)=(n+1{)}^2\cdot \frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{(n+1{)}^2(n+2{)}^2}{4}$$ C'est exactement $P(n+1)$. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n⩾1$. $■$

Le carré de somme. Comme ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, on a ${\left({\sum }_{k=1}^{n}k\right)}^2=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$, d'où l'égalité annoncée : $$\boxed{\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2}$$

Contrôle. $1+8+27=36=6^2=(1+2+3{)}^2$ ✓.

⚠️ Un accident, pas une règle. Cette égalité est propre au cube. On n'a ni $\sum k^2=(\sum k{)}^{3/2}$, ni $\sum k^4=(\sum k{)}^{?}$ : dès $n=2$, $\sum k^2=5$ n'est aucune puissance simple de $\sum k=3$. La tentation de généraliser est réelle et il faut la nommer pour ne pas y céder.

Cette identité resservira toute l'année, notamment au n° 4 c), où c'est elle qui débloque le calcul.