Décaler pour soustraire : $\sum k{2}^k$, puis $\sum k{x}^k$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle de changement d'indice dans une somme, et la somme géométrique $\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ pour $x\ne 1$. La stratégie est celle qui démontre la somme géométrique elle-même : multiplier par la raison, décaler l'indice, soustraire — presque tous les termes se détruisent.

a) La somme des $k{2}^k$. Multiplions $S_n$ par $2$ : $$2S_n=\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k+1}.$$ Posons $j=k+1$ : quand $k$ va de $1$ à $n$, $j$ va de $2$ à $n+1$, et $k=j-1$. Donc $$2S_n=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)2^j.$$ Écrivons maintenant $S_n$ et $2S_n$ sur le même intervalle d'indices, de $2$ à $n$, en isolant les termes qui dépassent : dans $S_n$, le terme $k=1$, qui vaut $1\cdot 2^1=2$ ; dans $2S_n$, le terme $j=n+1$, qui vaut $n{2}^{n+1}$. Ainsi $$S_n-2S_n=2+\sum _{k=2}^{n}k{2}^k-\sum _{k=2}^n(k-1)2^k-n{2}^{n+1}=2+\sum _{k=2}^n(k-(k-1))2^k-n{2}^{n+1}.$$ Le crochet vaut $1$ : il reste une somme géométrique, $$\sum _{k=2}^n{2}^k=2^2+2^3+\cdots +2^n=2^{n+1}-4$$ (c'est ${\sum }_{k=0}^n{2}^k=2^{n+1}-1$, moins les termes $k=0$ et $k=1$, soit $1+2=3$). Donc $$-S_n=2+2^{n+1}-4-n{2}^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2,\text{soit}{S}_n=(n-1)2^{n+1}+2.$$

Vérifications. Pour $n=1$ : $S_1=1\cdot 2=2$, et la formule donne $0\cdot 4+2=2$. Pour $n=2$ : $S_2=2+2\cdot 4=10$, et la formule donne $1\cdot 8+2=10$.

Le point délicat. Le changement d'indice ne change pas la somme, il change son écriture ; l'erreur classique est de soustraire deux sommes qui ne portent pas sur les mêmes indices sans isoler les termes en trop. Ici, un terme dépasse à chaque bout : le premier de $S_n$, le dernier de $2S_n$. On les sort, et le reste se traite sur un intervalle commun.

b) Le cas général. Même geste avec la raison $x\ne 1$. Posons $S=\sum _{k=1}^{n}k{x}^k$. Alors $xS=\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k+1}=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)x^j$, et en soustrayant comme au a) : $$S-xS=x+\sum _{k=2}^n(k-(k-1))x^k-n{x}^{n+1}=\sum _{k=1}^n{x}^k-n{x}^{n+1}.$$ (Le terme $x$ isolé et la somme de $2$ à $n$ se regroupent en une somme de $1$ à $n$.) Or $\sum _{k=1}^n{x}^k=x\frac{1-x^n}{1-x}$. Donc $$(1-x)S=\frac{x(1-x^n)}{1-x}-n{x}^{n+1},$$ et, en divisant par $1-x\ne 0$ puis en réduisant au dénominateur $(1-x{)}^2$ : $$S=\frac{x(1-x^n)-n{x}^{n+1}(1-x)}{(1-x{)}^2}=\frac{x-x^{n+1}-n{x}^{n+1}+n{x}^{n+2}}{(1-x{)}^2}=\frac{x\left(1-(n+1)x^n+n{x}^{n+1}\right)}{(1-x{)}^2}.$$

Contrôle par le a). Pour $x=2$, le dénominateur vaut $1$ et le numérateur $2\left(1-(n+1)2^n+n{2}^{n+1}\right)=2+2^{n+1}(-(n+1)+2n)=2+(n-1)2^{n+1}$ : c'est bien $S_n$.

c) La raison un demi. Pour $x=\frac{1}{2}$, $(1-x{)}^2=\frac{1}{4}$, donc $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}=4\cdot \frac{1}{2}\left(1-\frac{n+1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}\right)=2-\frac{2(n+1)}{2^n}+\frac{n}{2^n}=2-\frac{2n+2-n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}.$$ Pour $n=1$ : $\frac{1}{2}=2-\frac{3}{2}$. Pour $n=2$ : $\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1=2-\frac{4}{4}$. Pour $n=3$ : $1+\frac{3}{8}=\frac{11}{8}=2-\frac{5}{8}$.

Comme $\frac{n+2}{2^n}>0$, la somme est strictement inférieure à $2$ pour tout $n$ : voilà une somme de $n$ termes strictement positifs, aussi grand que soit $n$, qui ne dépasse jamais $2$. On reverra cette somme au chapitre des séries, où l'on dira qu'elle converge vers $2$ ; et au chapitre des probabilités, où $\sum k{x}^k$ est le calcul de l'espérance de la loi géométrique.

Ce que l'exercice installe. Une somme dont le terme général est « un polynôme en $k$ fois une puissance $k$-ième » se calcule par le geste de la somme géométrique : multiplier par la raison, décaler, soustraire — le degré du polynôme baisse d'un cran à chaque fois. (Quand on saura dériver une somme terme à terme, on reconnaîtra dans $\sum k{x}^{k-1}$ la dérivée de $\sum x^k$ ; mais le décalage d'indice n'a besoin d'aucune analyse, et c'est pour cela qu'il faut le savoir faire.)