Décaler pour soustraire : $\sum k{2}^k$, puis $\sum k{x}^k$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle de changement d'indice dans une somme, et la somme géométrique $\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ pour $x\ne 1$. La stratégie est celle qui démontre la somme géométrique elle-même : multiplier par la raison, décaler l'indice, soustraire — presque tous les termes se détruisent.

a) La somme des $k{2}^k$. Multiplions $S_n$ par $2$ : $$2S_n=\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k+1}.$$ Posons $j=k+1$ : quand $k$ va de $1$ à $n$, $j$ va de $2$ à $n+1$, et $k=j-1$. Donc $$2S_n=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)2^j.$$ Écrivons maintenant $S_n$ et $2S_n$ sur le même intervalle d'indices, de $2$ à $n$, en isolant les termes qui dépassent : dans $S_n$, le terme $k=1$, qui vaut $1\cdot 2^1=2$ ; dans $2S_n$, le terme $j=n+1$, qui vaut $n{2}^{n+1}$. Ainsi $$S_n-2S_n=2+\sum _{k=2}^{n}k{2}^k-\sum _{k=2}^n(k-1)2^k-n{2}^{n+1}=2+\sum _{k=2}^n(k-(k-1))2^k-n{2}^{n+1}.$$ Le crochet vaut $1$ : il reste une somme géométrique, $$\sum _{k=2}^n{2}^k=2^2+2^3+\cdots +2^n=2^{n+1}-4$$ (c'est ${\sum }_{k=0}^n{2}^k=2^{n+1}-1$, moins les termes $k=0$ et $k=1$, soit $1+2=3$). Donc $$-S_n=2+2^{n+1}-4-n{2}^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2,\text{soit}{S}_n=(n-1)2^{n+1}+2.$$

Vérifications. Pour $n=1$ : $S_1=1\cdot 2=2$, et la formule donne $0\cdot 4+2=2$. Pour $n=2$ : $S_2=2+2\cdot 4=10$, et la formule donne $1\cdot 8+2=10$.

Le point délicat. Le changement d'indice ne change pas la somme, il change son écriture ; l'erreur classique est de soustraire deux sommes qui ne portent pas sur les mêmes indices sans isoler les termes en trop. Ici, un terme dépasse à chaque bout : le premier de $S_n$, le dernier de $2S_n$. On les sort, et le reste se traite sur un intervalle commun.